Hình bên dưới là một máy trò chơi được đơn giản hóa. Khi thả một quả bóng từ cửa vào,

Câu hỏi số 974010:

Vận dụng

Hình bên dưới là một máy trò chơi được đơn giản hóa. Khi thả một quả bóng từ cửa vào, bóng sẽ đi qua đúng một trong bốn vị trí A, B, C, D. Mỗi khi bóng đi qua vị trí nào thì đèn ở vị trí đó sẽ đổi trạng thái: đang tắt thì bật, đang bật thì tắt.

Ví dụ: Nếu ban đầu tất cả đèn đều tắt, thả bóng 2 lần mà cả 2 lần đều đi qua A thì đèn ở A sẽ bật rồi lại tắt; còn nếu lần 1 bóng đi qua A rồi lần 2 bóng đi qua B thì đèn ở A và B đều bật.

Cứ như vậy, mỗi lần bóng đi qua thì đèn đổi trạng thái. Trò chơi kết thúc khi cả bốn đèn A, B, C, D đều bật.

Gọi xác suất để trò chơi kết thúc đúng ở lần thả bóng thứ 6 là $\dfrac{a}{b}$ ($\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản). Giá trị của $a + b$ là bao nhiêu? (Biết rằng ban đầu tất cả đèn đều tắt, tại mỗi ngã rẽ, bóng đi sang hai hướng với xác suất bằng nhau).

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:974010

Phương pháp giải

Xác định mô hình xác suất: Tại mỗi ngã rẽ xác suất rẽ trái/phải bằng nhau, nên xác suất bóng rơi vào một vị trí A, B, C, D bất kỳ trong mỗi lần thả đều bằng nhau và bằng $\dfrac{1}{4}$.

Trạng thái của trò chơi chỉ phụ thuộc vào số lượng đèn đang bật. Ta theo dõi quá trình biến đổi trạng thái qua các bước dựa vào lý thuyết chuỗi Markov hoặc sơ đồ phân nhánh.

Lưu ý trò chơi phải kết thúc ĐÚNG ở lần thứ 6, nghĩa là nó không được phép kết thúc sớm ở lần thứ 4.

Giải chi tiết

Do sơ đồ rễ nhánh đối xứng, xác suất để bóng rơi vào mỗi ô A, B, C, D trong mỗi lần thả đều bằng nhau và bằng $p = \dfrac{1}{4}$. Để trò chơi kết thúc ở lần thứ 6, điều kiện cần là cả 4 ô đều phải được bật sáng sau 6 lần thả, tức là số lần bóng rơi vào mỗi ô $(n_{A},n_{B},n_{C},n_{D})$ phải là các số lẻ và tổng bằng 6.

Bộ số thỏa mãn duy nhất là $\left\{ 3,1,1,1 \right\}$.

Số cách xếp chuỗi 6 lần thả có cấu trúc gồm một ô xuất hiện 3 lần và ba ô còn lại xuất hiện 1 lần là:

$4 \times \dfrac{6!}{3!1!1!1!} = 480\text{~cách}\text{.}$

Trò chơi có thể kết thúc sớm ở lần thứ 4 nếu 4 lần đầu bóng rơi vào 4 ô khác nhau (có $4! = 24$ cách).

Để sau 6 lần vẫn có cấu trúc $\left\{ 3,1,1,1 \right\}$, 2 lần cuối buộc phải rơi trùng vào cùng một ô nào đó trong 4 ô (có 4 cách).

Vậy số trường hợp bị kết thúc sớm ở lần 4 là $24 \times 4 = 96$ cách.

Số cách thả hợp lệ để trò chơi kết thúc đúng ở lần thứ 6 là: $480 - 96 = 384$ cách.

Xác suất cần tìm:

$\left. P = \dfrac{384}{4^{6}} = \dfrac{384}{4096} = \dfrac{3}{32}\Rightarrow a = 3,b = 32\Rightarrow a + b = 35. \right.$

Đáp án cần điền là: 35

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.