Một đường hầm hiện đại được thiết kế với mặt đáy là hình thang ACDF vuông tại A và C

Câu hỏi số 974011:

Vận dụng

Một đường hầm hiện đại được thiết kế với mặt đáy là hình thang ACDF vuông tại A và C ($AF \parallel CD$). Xét một thiết diện bất kì của đường hầm vuông góc với AC là một miền phẳng giới hạn bởi đường cong (P), đoạn BE và đoạn BG như hình vẽ ($G \in (P)$). Giả sử (P) là một nhánh của parabol có đỉnh S và hình chiếu của S trên mặt nền là H, E là chân của parabol ($E \in (P)$ và mặt đáy) thì $SH = 2EH$. Một mặt bên đường hầm có dạng mặt phẳng vuông góc với mặt đáy chứa đường thẳng AC, gọi B là hình chiếu vuông góc của G xuống mặt phẳng đáy thì $BE = BG$ và B thuộc đoạn AC. Biết $AC = 30$ cm, $AF = 2CD = 12$ cm. Thể tích đường hầm trên bằng bao nhiêu mét khối?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:974011

Phương pháp giải

Đặt $AB = x$. Tính BE và diện tích thiết diện parabol theo x từ đó tính thể tích hầm bằng tích phân thiết diện.

Giải chi tiết

Chọn trục Ox trùng với đường thẳng AC, gốc O tại A.

Khi đó vị trí của lát cắt $B\left( {x,0} \right)$ với $x \in \lbrack 0;30\rbrack.$

Vì ACDF là hình thang vuông tại A và C nên đoạn $BE\bot AC$ và giảm bậc nhất từ $AF = 12$ về $CD = 6$

$\left. \Rightarrow BE = 12 - \dfrac{12 - 6}{30}x = 12 - \dfrac{1}{5}x \right.$

Đặt $d = BE = 12 - \dfrac{1}{5}x$.

Xét parabol như hình vẽ có $BG = BE;\,\, SH = 2HE;\,\, BE = 12 - \dfrac{1}{5}x = d$

Khi đó parabol $y = ax^{2} + bx + d$ (với $a < 0$) qua $G\left( {0;d} \right);E\left( {d;0} \right)$ nên

$\left. ad^{2} + bd + d = 0\Leftrightarrow ad + b + 1 = 0\Leftrightarrow d = - \dfrac{b + 1}{a} \right.$

Lại có $y\left( {- \dfrac{b}{2a}} \right) = SH = 2HE = 2\left( {BE - OH} \right) = 2\left( {d + \dfrac{b}{2a}} \right)$

$\begin{array}{l} \left. \Leftrightarrow - \dfrac{b^{2}}{4a} + d = 2d + \dfrac{b}{a} \right. \\ \left. \Leftrightarrow b^{2} + 4ad + 4b = 0 \right. \\ \left. \Leftrightarrow b^{2} - 4\left( {b + 1} \right) + 4b = 0 \right. \\ \left. \Leftrightarrow b^{2} = 4\Leftrightarrow b = \pm 2 \right. \end{array}$

Vì $\left. BH = - \dfrac{b}{2a} > 0\Rightarrow a,b \right.$ trái dấu nên $b = 2$.

Khi đó $d = - \dfrac{3}{a}$ hay $a = - \dfrac{3}{d}$ và $(P):y = - \dfrac{3}{d}x^{2} + 2x + d$

Vậy diện tích mặt cắt Parabol này là

${\int\limits_{0}^{d}{\left( {- \dfrac{3}{d}x^{2} + 2x + d} \right)dx = \left. \left( {- \dfrac{x^{3}}{d} + x^{2} + dx} \right) \right|_{0}^{d} = - d^{2} + d^{2} + d^{2} = d^{2}}} = \left( {12 - \dfrac{1}{5}x} \right)^{2}$

Thể tích của đường hầm là:

$V = {\int_{0}^{30}\left( {12 - \dfrac{1}{5}x} \right)^{2}}dx = \left\lbrack {- 5 \cdot \dfrac{\left( {12 - \dfrac{1}{5}x} \right)^{3}}{3}} \right\rbrack_{0}^{30} = - \dfrac{5}{3}(6^{3} - 12^{3}) = 2520\text{~(m}^{3}\text{)}.$

Đáp án cần điền là: 2520

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.