Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \sin^{2}\left( {\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi}{4}} \right)$

Câu hỏi số 974075:

Vận dụng

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \sin^{2}\left( {\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi}{4}} \right)$ là

A. $\dfrac{1}{2}x^{2} + \dfrac{1}{2}\cos x + C.$

B. $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\sin x + C.$

C. $\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\cos x + C.$

D. $\dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{2}\cos x + C.$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:974075

Phương pháp giải

Sử dụng công thức cộng lượng giác: $\sin(a + b) = \sin a.\cos b + \cos a.\sin b$ và công thức nguyên hàm cơ bản.

Giải chi tiết

Ta có:

$f(x) = \sin^{2}\left( {\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi}{4}} \right) = \left( {\sin\dfrac{x}{2} \cdot \cos\dfrac{\pi}{4} + \cos\dfrac{x}{2} \cdot \sin\dfrac{\pi}{4}} \right)^{2}$

$\begin{array}{l} {= \left( {\dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin\dfrac{x}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos\dfrac{x}{2}} \right)^{2} = \dfrac{1}{2}\sin^{2}\dfrac{x}{2} + \sin\dfrac{x}{2} \cdot \cos\dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{2}\cos^{2}\dfrac{x}{2}} \\ {= \dfrac{1}{2}\left( {\sin^{2}\dfrac{x}{2} + \cos^{2}\dfrac{x}{2}} \right) + \dfrac{1}{2}\sin x = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\sin x.} \end{array}$

Họ nguyên hàm của hàm số là: ${\int f}(x)dx = {\int{\left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\sin x} \right)dx}} = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{2}\cos x + C.$

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.