Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$ cạnh $a$, góc $\angle ABC = 60^{\circ}.$ Hai mặt
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$ cạnh $a$, góc $\angle ABC = 60^{\circ}.$ Hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SBD} \right)$ cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và mặt phẳng đáy bằng $45^{\circ}.$ Khoảng cách $d$ giữa hai đường thẳng $AC$ và $SB$
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Xác định chiều cao khối chóp và góc giữa mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và mặt phẳng đáy (bằng cách kẻ $OH\bot AB$ tại H).
Kẻ $OK\bot SB$ tại $K$ $\left( {K \in SB} \right).$ $OK$ là đoạn vuông góc chung của $AC$ và $SB.$
Sử dụng hệ thức lượng trong các tam giác $\Delta OAB$ vuông tại $O$ và $\Delta SOB$ vuông tại $O$ để tính OH và OK.
Vì $\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO$ và cả hai cùng vuông góc với đáy nên $SO\bot\left( {ABCD} \right).$
$\Delta ABC$ đều cạnh $\left. a\Rightarrow AC = a,\ BD = a\sqrt{3}. \right.$ Ta có $OA = \dfrac{a}{2},\ OB = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Kẻ $OH\bot AB$ tại $H.$ Góc giữa $\left( {SAB} \right)$ và đáy là $\left. \widehat{SHO} = 45^{\circ}\Rightarrow SO = OH. \right.$
Trong $\Delta OAB$ vuông tại $O$:
$\left. \dfrac{1}{OH^{2}} = \dfrac{1}{OA^{2}} + \dfrac{1}{OB^{2}} = \dfrac{4}{a^{2}} + \dfrac{4}{3a^{2}} = \dfrac{16}{3a^{2}}\Rightarrow OH = \dfrac{a\sqrt{3}}{4} = SO. \right.$
Ta có $AC\bot BD$ và $\left. AC\bot SO\Rightarrow AC\bot\left( {SBD} \right). \right.$
Kẻ $OK\bot SB$ tại $K$ $\left( {K \in SB} \right).$ Vì $OK \subset \left( {SBD} \right)$ nên $AC\bot OK.$
Vậy $OK$ là đoạn vuông góc chung của $AC$ và $SB.$
Trong $\Delta SOB$ vuông tại $O$:
$\dfrac{1}{OK^{2}} = \dfrac{1}{SO^{2}} + \dfrac{1}{OB^{2}} = \dfrac{1}{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{4} \right)^{2}} + \dfrac{1}{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)^{2}} = \dfrac{16}{3a^{2}} + \dfrac{4}{3a^{2}} = \dfrac{20}{3a^{2}}.$
$\left. \Rightarrow OK^{2} = \dfrac{3a^{2}}{20}\Rightarrow OK = \sqrt{\dfrac{3a^{2}}{20}} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{5}} = \dfrac{a\sqrt{15}}{10}. \right.$
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
