Các giá trị của tham số $m$ để phương trình $x + \sqrt{4 - x^{2}} = m$ có nghiệm

Câu hỏi số 974085:

Vận dụng

Các giá trị của tham số $m$ để phương trình $x + \sqrt{4 - x^{2}} = m$ có nghiệm là

A. $m \in \left\lbrack {- 2;2\sqrt{2}} \right\rbrack.$

B. $m \in \left\lbrack {- 2;2} \right\rbrack.$

C. $m \in \left\lbrack {0;2\sqrt{2}} \right\rbrack.$

D. $m \in \left\lbrack {2;2\sqrt{2}} \right\rbrack.$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:974085

Phương pháp giải

Khảo sát sự biến thiên của hàm số $f(x) = x + \sqrt{4 - x^{2}}$ trên tập xác định.

Phương trình $f(x) = m$ có nghiệm khi và chỉ khi $\min f(x) \leq m \leq \max f(x).$

Giải chi tiết

Điều kiện: $\left. 4 - x^{2} \geq 0\Leftrightarrow x \in \left\lbrack {- 2;2} \right\rbrack. \right.$

Xét hàm số $f(x) = x + \sqrt{4 - x^{2}}$ trên đoạn $\left\lbrack {- 2;2} \right\rbrack.$

Đạo hàm: $f'(x) = 1 - \dfrac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}} = \dfrac{\sqrt{4 - x^{2}} - x}{\sqrt{4 - x^{2}}}.$

Cho $\left. f'(x) = 0\Rightarrow\sqrt{4 - x^{2}} = x\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {x \geq 0} \\ {4 - x^{2} = x^{2}} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {x \geq 0} \\ {x^{2} = 2} \end{array} \right.\Leftrightarrow x = \sqrt{2} \in \left\lbrack {- 2;2} \right\rbrack. \right.$

Tính các giá trị:

$f\left( {- 2} \right) = - 2 + 0 = - 2$

$f(2) = 2 + 0 = 2$

$f\left( \sqrt{2} \right) = \sqrt{2} + \sqrt{4 - 2} = 2\sqrt{2}.$

Suy ra $\min_{\lbrack - 2;2\rbrack}f(x) = - 2$ và $\max_{\lbrack - 2;2\rbrack}f(x) = 2\sqrt{2}.$

Để phương trình có nghiệm thì $m \in \left\lbrack {- 2;2\sqrt{2}} \right\rbrack.$

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.