Một chiếc phao bơi dạng hình xuyến được tạo ra khi quay một đường tròn tâm $I$ bán kính $r =

Câu hỏi số 974087:

Vận dụng

Một chiếc phao bơi dạng hình xuyến được tạo ra khi quay một đường tròn tâm $I$ bán kính $r = 10$cm quanh một trục $d$ nằm trong mặt phẳng chứa đường tròn. Biết khoảng cách từ tâm $I$ đến trục $d$ là $R = 25$cm. Để làm mới phao, người ta bơm vào một lượng khí chiếm $90\%$ thể tích bên trong phao. Thể tích khí đã bơm vào (theo đơn vị cm³, làm tròn đến số nguyên gần nhất) bằng

Đáp án:

Đáp án đúng là: 44413

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:974087

Phương pháp giải

Thiết lập hệ tọa độ, biểu diễn các hàm số (đường tròn có thể hiểu là đồ thị của hai hàm số khác nhau), từ đó lập tích phân tính thể tích khối tròn xoay theo công thức $V = \pi{\int\limits_{a}^{b}{f^{2}(x)dx}}.$

Lưu ý biến đổi biểu thức các tích phân để thu gọn và tính toán dễ dàng hơn.

Giải chi tiết

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, xét đường tròn $(C)$ có tâm $I\left( {0;R} \right)$ và bán kính $r.$

Trục quay là trục Ox. Phương trình đường tròn $(C)$ là: $x^{2} + \left( {y - R} \right)^{2} = r^{2}.$

Từ phương trình trên, ta giải $y$ theo $x$: $\left. \left( {y - R} \right)^{2} = r^{2} - x^{2}\Leftrightarrow y = R \pm \sqrt{r^{2} - x^{2}}. \right.$

Ta có hai hàm số tương ứng với nửa trên và nửa dưới của đường tròn:

Hàm có đồ thị xa trục Ox hơn: $y_{2} = R + \sqrt{r^{2} - x^{2}}$

Hàm có đồ thị gần trục Ox hơn: $y_{1} = R - \sqrt{r^{2} - x^{2}}$

Giới hạn của x là từ $- r$ đến $r.$

Thể tích toàn bộ phao là: $V = \pi{\int\limits_{- r}^{r}{\left( {y_{2}^{2} - y_{1}^{2}} \right)dx}}.$

Thay $y_{2},\ y_{1}$ vào:

$y_{2}^{2} - y_{1}^{2} = \left( {R + \sqrt{r^{2} - x^{2}}} \right)^{2} - \left( {R - \sqrt{r^{2} - x^{2}}} \right)^{2} = 2R \cdot 2\sqrt{r^{2} - x^{2}} = 4R \cdot \sqrt{r^{2} - x^{2}}.$

Vậy $V = \pi{\int\limits_{- r}^{r}{4R\sqrt{r^{2} - x^{2}}dx}} = 4R\pi{\int\limits_{- r}^{r}{\sqrt{r^{2} - x^{2}}dx}}.$

Tích phân $J = {\int_{- r}^{r}\sqrt{r^{2} - x^{2}}}dx$ chính là diện tích của nửa hình tròn bán kính $r$ nên $J = \dfrac{1}{2}\pi r^{2}.$

Vậy $V = 4\pi R \cdot \left( {\dfrac{1}{2}\pi r^{2}} \right) = 2\pi^{2}r^{2}R.$

Với $R = 25,\ r = 10:$ $V = 2 \cdot \pi^{2} \cdot 10^{2} \cdot 25 = 5000\pi^{2}.$

Thể tích khí bơm vào: $V_{k} = 0,9 \cdot 5000\pi^{2} = 4500\pi^{2} \approx 44413\ \left( \text{cm}^{3} \right).$

Đáp án cần điền là: 44413

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.