Cho hai số thực dương $a$ và $b$ thỏa mãn $2 \cdot \log_{3}^{2}a - 5 \cdot \log_{3}a \cdot \log_{3}b + 2

Câu hỏi số 974092:

Thông hiểu

Cho hai số thực dương $a$ và $b$ thỏa mãn $2 \cdot \log_{3}^{2}a - 5 \cdot \log_{3}a \cdot \log_{3}b + 2 \cdot \log_{3}^{2}b = 0.$

Giá trị của biểu thức $P = \log_{b}a + \log_{a}b$ bằng? Kết quả viết dưới dạng phân số tối giản a/b.

Đáp án:

Đáp án đúng là: 5/2

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:974092

Phương pháp giải

Biến đổi biểu thức logarit, sử dụng công thức đổi cơ số và đặt ẩn phụ $t = \log_{b}a$ để đưa điều kiện đề bài về một phương trình bậc hai. Giải phương trình bậc hai để tìm giá trị của $t = \log_{b}a.$

Giải chi tiết

$2 \cdot \log_{3}^{2}a - 5 \cdot \log_{3}a \cdot \log_{3}b + 2 \cdot \log_{3}^{2}b = 0$

$\left. \Leftrightarrow 2 \cdot \left( \dfrac{\log_{3}a}{\log_{3}b} \right)^{2} - 5 \cdot \left( \dfrac{\log_{3}a}{\log_{3}b} \right) + 2 = 0 \right.$

Theo công thức đổi cơ số: $\dfrac{\log_{3}a}{\log_{3}b} = \log_{b}a.$

Đặt $t = \log_{b}a,$ phương trình trở thành phương trình bậc hai theo $t$: $\left. 2t^{2} - 5t + 2 = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {t = 2} \\ {t = \dfrac{1}{2}} \end{array} \right.. \right.$

Biểu thức cần tính là: $P = \log_{b}a + \log_{a}b.$ Ta biết rằng $\log_{a}b = \dfrac{1}{\log_{b}a}$, do đó $P = t + \dfrac{1}{t}$.

Nếu $t = 2$ thì $P = 2 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2} = \dfrac{5}{2}.$

Nếu $t = \dfrac{1}{2}$ thì $P = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{2} + 2 = \dfrac{5}{2}.$

Cả hai trường hợp đều cho cùng một kết quả.

Đáp án cần điền là: 5/2

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.