Một trung tâm điều phối cần phân bổ 15 linh kiện điện tử giống hệt nhau cho 3 dây chuyền

Câu hỏi số 974095:

Vận dụng

Một trung tâm điều phối cần phân bổ 15 linh kiện điện tử giống hệt nhau cho 3 dây chuyền sản xuất khác nhau. Để đảm bảo quy trình vận hành, mỗi dây chuyền phải nhận được ít nhất 2 linh kiện, nhưng do giới hạn về không gian lưu trữ, số linh kiện tối đa mỗi dây chuyền có thể chứa là 8. Giả sử trung tâm chọn ngẫu nhiên một phương án phân bổ linh kiện sao cho dây chuyền nào cũng có ít nhất 1 linh kiện. Xác suất để phương án được chọn thỏa mãn đồng thời các điều kiện về vận hành và lưu trữ của cả 3 dây chuyền là

A. $\dfrac{46}{91}.$

B. $\dfrac{25}{91}.$

C. $\dfrac{37}{91}.$

D. $\dfrac{31}{91}.$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:974095

Phương pháp giải

Bước 1: Xác định không gian mẫu: Xét 15 linh kiện đặt thành một hàng ngang, giữa chúng có 14 khoảng trống. Để chia 15 linh kiện này thành 3 phần sao cho mỗi phần có ít nhất 1 linh kiện, ta cần đặt 2 vách ngăn vào 14 khoảng trống đó.

Bước 2: Tính số kết quả thuận lợi.

Bước 3: Loại trừ các trường hợp vi phạm điều kiện (không vượt quá 8).

Giải chi tiết

Xét 15 linh kiện đặt thành một hàng ngang, giữa chúng có 14 khoảng trống.

Để chia 15 linh kiện này thành 3 phần sao cho mỗi phần có ít nhất 1 linh kiện, ta cần đặt 2 vách ngăn vào 14 khoảng trống đó. Số cách đặt là: $C_{14}^{2} = 91.$

Vậy $n(\Omega) = 91.$

Bước đầu tiên, để mỗi dây chuyền có ít nhất 2 linh kiện, ta lấy 3 linh kiện phát cho mỗi dây chuyền 1 cái trước (để đảm bảo tối thiểu là 1). Lúc này còn lại $15 - 3 = 12$ linh kiện.

Tuy nhiên, yêu cầu là ít nhất 2, nên ta tiếp tục lấy thêm 3 linh kiện nữa phát cho mỗi nơi thêm 1 cái.

Tổng cộng ta đã cố định $2 + 2 + 2 = 6$ linh kiện vào 3 vị trí.

Số linh kiện còn lại cần phân bổ tự do là: $15 - 6 = 9$ linh kiện.

Để chia 9 linh kiện còn lại vào 3 dây chuyền (có thể có dây chuyền không nhận thêm linh kiện nào nữa), ta dùng phương pháp vách ngăn giả định:

Xếp 9 linh kiện và 2 vách ngăn thành một hàng (tổng cộng 11 vị trí). Việc chọn 2 vị trí bất kỳ để đặt vách ngăn trong 11 vị trí này sẽ chia 9 linh kiện thành 3 phần (có thể bằng 0).

Số cách chia là: $C_{11}^{2} = 55$ cách.

Một dây chuyền vi phạm khi nó nhận tổng cộng $\geq 9$ linh kiện.

Vì mỗi dây đã có sẵn 2 linh kiện, nên nó vi phạm khi nhận thêm từ $9 - 2 = 7$ linh kiện trở lên từ nhóm 9 linh kiện tự do.

Giả sử dây chuyền thứ nhất nhận thêm 7 linh kiện. Ta lấy 7 linh kiện bỏ riêng cho dây chuyền thứ nhất.

Còn lại $9 - 7 = 2$ linh kiện cần chia cho 3 dây chuyền.

Số cách chia 2 linh kiện vào 3 nơi là: $C_{2 + 3 - 1}^{3 - 1} = C_{4}^{2} = 6$ cách.

Tương tự cho dây chuyền thứ hai và thứ ba. Tổng số trường hợp vi phạm là: $3 \cdot 6 = 18$ cách.

Lưu ý: Không thể có 2 dây chuyền cùng vi phạm vì $7 + 7 = 14 > 9.$

Số phương án thỏa mãn là: $55 - 18 = 37.$

Xác suất cần tìm: ${\mathbb{P}} = \dfrac{37}{91}.$

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.