Trong không gian $Oxyz,$ cho hai mặt cầu $\left( S_{1} \right):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y - 2z - 3 = 0$ và

Câu hỏi số 974096:

Vận dụng

Trong không gian $Oxyz,$ cho hai mặt cầu $\left( S_{1} \right):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y - 2z - 3 = 0$ và $\left( S_{2} \right):x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - 2y + 2z - 14 = 0.$ Gọi $(P)$ là tập hợp các điểm $M\left( {a;b;c} \right)$ sao cho từ $M$ kẻ được các tiếp tuyến đến $\left( S_{1} \right)$ và $\left( S_{2} \right)$ có độ dài bằng nhau. Khi khoảng cách từ $M$ đến gốc tọa độ $O$ đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị $T = a + b + c$ bằng? Kết quả viết dưới dạng phân số tối giản a/b.

Đáp án:

Đáp án đúng là: 11/34

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:974096

Phương pháp giải

Độ dài tiếp tuyến $d$ từ $M$ đến mặt cầu tâm $I,$ bán kính $R$ được tính bởi $d^{2} = MI^{2} - R^{2}.$

Biểu thức $MI^{2} - R^{2}$ chính là vế trái của phương trình mặt cầu khi đã đưa về dạng chuẩn (hệ số bậc hai bằng 1).

Điểm $M$ gần $O$ nhất trên một mặt phẳng chính là hình chiếu vuông góc của $O$ trên mặt phẳng đó.

Giải chi tiết

Giả sử $M\left( {x;y;z} \right).$ Điều kiện độ dài tiếp tuyến bằng nhau:

$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y - 2z - 3 = x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - 2y + 2z - 14$

$\left. \Leftrightarrow - 2x + 4y - 2z - 3 = 2x - 2y + 2z - 14 \right.$

$\left. \Leftrightarrow 4x - 6y + 4z - 11 = 0. \right.$

Đây là phương trình mặt phẳng $(P).$

Để $OM$ nhỏ nhất, $M$ là hình chiếu của $O\left( {0;0;0} \right)$ trên $(P).$

Đường thẳng đi qua $O$ và vuông góc với $(P)$ có phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} {x = 4t} \\ {y = - 6t} \\ {z = 4t} \end{array} \right..$

Thay vào phương trình $(P)$: $4\left( {4t} \right) - 6\left( {- 6t} \right) + 4\left( {4t} \right) - 11 = 0$

$\left. \Leftrightarrow 16t + 36t + 16t = 11\Leftrightarrow 68t = 11\Leftrightarrow t = \dfrac{11}{68}. \right.$

Tọa độ điểm $M$ là: $a = 4 \cdot \dfrac{11}{68} = \dfrac{11}{17};\ b = - 6 \cdot \dfrac{11}{68} = - \dfrac{33}{34};\ c = 4 \cdot \dfrac{11}{68} = \dfrac{11}{17}.$

Vậy $T = a + b + c = \dfrac{22}{34} - \dfrac{33}{34} + \dfrac{22}{34} = \dfrac{11}{34}.$

Đáp án cần điền là: 11/34

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.