Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ cho đường tròn $(C):x^{2} + y^{2} - 8x - 12y + 48 = 0$ và điểm $A\left(

Câu hỏi số 974097:

Vận dụng

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ cho đường tròn $(C):x^{2} + y^{2} - 8x - 12y + 48 = 0$ và điểm $A\left( {1;2} \right).$ Gọi $M$ là một điểm di động trên đường tròn $(C).$ Giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \left| {\overset{\rightharpoonup}{MA} - 2\overset{\rightharpoonup}{MO}} \right|,$ trong đó $O$ là gốc tọa độ, bằng

A. $1 - \sqrt{5}.$

B. $1 + \sqrt{5}.$

C. $2 + \sqrt{89}.$

D. $2 - \sqrt{5}.$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:974097

Phương pháp giải

Tìm tâm và bán kính của đường tròn, sử dụng công thức tâm tỉ cự để tìm tọa độ điểm I cố định thỏa mãn $\overset{\rightharpoonup}{IA} - 2\overset{\rightharpoonup}{IO} = \overset{\rightharpoonup}{0}.$ Biến đổi biểu thức P và xét giá trị lớn nhất của biểu thức (phụ thuộc hoàn toàn vào MI).

Giải chi tiết

Đường tròn $(C):x^{2} + y^{2} - 8x - 12y + 48 = 0$ có tâm $J\left( {4;6} \right)$ và bán kính $R = \sqrt{4^{2} + 6^{2} - 48} = 2.$

Xét điểm I thỏa mãn $\overset{\rightharpoonup}{IA} - 2\overset{\rightharpoonup}{IO} = \overset{\rightharpoonup}{0}.$ Khi đó $I = \dfrac{A - 2O}{1 - 2} = \dfrac{\left( {1;2} \right) - 2\left( {0;0} \right)}{- 1} = \left( {- 1; - 2} \right).$

Khi đó $P = \left| {\overset{\rightharpoonup}{MA} - 2\overset{\rightharpoonup}{MO}} \right| = \left| {\overset{\rightharpoonup}{MI} + \overset{\rightharpoonup}{IA} - 2\left( {\overset{\rightharpoonup}{MI} + \overset{\rightharpoonup}{IO}} \right)} \right| = \left| {- \overset{\rightharpoonup}{MI}} \right| = MI.$

$MI_{\max} = IJ + IM = IJ + R = \sqrt{\left( {4 + 1} \right)^{2} + \left( {6 + 2} \right)^{2}} + 2 = 2 + \sqrt{89}.$

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.