Phương trình $\sin 2x = \cos x$ có bao nhiêu nghiệm thuộc $\lbrack 0;2\pi\rbrack$.

Câu hỏi số 974167:

Vận dụng

A. 4.

B. 2.

C. 6.

D. 3.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:974167

Phương pháp giải

Biến đổi phương trình bằng công thức nhân đôi $\sin 2x = 2\sin x\cos x$.

Đưa phương trình về dạng tích và giải các phương trình lượng giác cơ bản, sau đó tìm số nghiệm thỏa mãn điều kiện nằm trong đoạn $\lbrack 0;2\pi\rbrack$.

Giải chi tiết

$\sin 2x = \cos x$

$\left. \Leftrightarrow 2\sin x\cos x - \cos x = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow\cos x(2\sin x - 1) = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {\cos x = 0} \\ {2\sin x - 1 = 0} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {\cos x = 0\quad(1)} \\ {\sin x = \dfrac{1}{2}\quad(2)} \end{array} \right. \right.$

Giải (1): $\left. \cos x = 0\Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi\quad(k \in {\mathbb{Z}}) \right.$.

Vì $x \in \lbrack 0;2\pi\rbrack$ nên $\left. 0 \leq \dfrac{\pi}{2} + k\pi \leq 2\pi\Leftrightarrow - \dfrac{1}{2} \leq k \leq \dfrac{3}{2} \right.$.

Do $k \in {\mathbb{Z}}$ nên $k \in \left\{ 0;1 \right\}$. Suy ra $x \in \left\{ {\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}} \right\}$.

Giải (2): $\left. \sin x = \dfrac{1}{2}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {x = \dfrac{\pi}{6} + k2\pi} \\ {x = \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi} \end{array} \right.\quad(k \in {\mathbb{Z}}) \right.$.

Vì $x \in \lbrack 0;2\pi\rbrack$ nên các nghiệm nhận được tương ứng với $k = 0$ là $x \in \left\{ {\dfrac{\pi}{6};\dfrac{5\pi}{6}} \right\}$.

Tất cả các nghiệm tìm được đều phân biệt. Vậy phương trình có 4 nghiệm thuộc đoạn $\lbrack 0;2\pi\rbrack$.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.