Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} \dfrac{3x^{2} - 5ax + b}{x - 2} & {\text{khi~}x \neq 2} \\ 4 &

Câu hỏi số 974170:

Vận dụng

Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} \dfrac{3x^{2} - 5ax + b}{x - 2} & {\text{khi~}x \neq 2} \\ 4 & {\text{khi~}x = 2} \end{cases}$. Biết $f(x)$ liên tục tại $x = 2$. Tính giá trị của biểu thức $M = a + b$.

A. $\dfrac{16}{5}$.

B. $\dfrac{28}{5}$.

C. 4.

D. 6.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:974170

Phương pháp giải

Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x = x_{0}$ khi và chỉ khi $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}f(x) = f(x_{0})$.

Nếu $\lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{P(x)}{x - 2}$ tồn tại hữu hạn thì $x = 2$ phải là một nghiệm của đa thức trên tử số, tức là $P(2) = 0$. Từ đó biểu diễn $b$ theo $a$, thay vào tính giới hạn để giải ra $a$, rồi tìm lại $b$.

Giải chi tiết

Hàm số liên tục tại $\left. x = 2\Leftrightarrow\lim\limits_{x\rightarrow 2}f(x) = f(2) = 4 \right.$.

Ta có: $\lim\limits_{x\rightarrow 2}f(x) = \lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{3x^{2} - 5ax + b}{x - 2}$.

Để giới hạn này hữu hạn (bằng 4), tử số phải nhận $x = 2$ làm nghiệm:

$\left. 3(2^{2}) - 5a(2) + b = 0\Leftrightarrow 12 - 10a + b = 0\Leftrightarrow b = 10a - 12 \right.$.

Thay $b$ vào biểu thức, ta được:

$\lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{3x^{2} - 5ax + 10a - 12}{x - 2} = \lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{3(x^{2} - 4) - 5a(x - 2)}{x - 2}$

$= \lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{(x - 2)(3(x + 2) - 5a)}{x - 2} = \lim\limits_{x\rightarrow 2}(3x + 6 - 5a)$

$= 3(2) + 6 - 5a = 12 - 5a$.

Để hàm số liên tục, ta phải có: $\left. 12 - 5a = 4\Leftrightarrow 5a = 8\Leftrightarrow a = \dfrac{8}{5} \right.$.

Suy ra $b = 10\left( \dfrac{8}{5} \right) - 12 = 16 - 12 = 4$.

Vậy giá trị biểu thức $M = a + b = \dfrac{8}{5} + 4 = \dfrac{28}{5}$.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.