Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu sauTrong không gian Oxyz, cho đường thẳng

Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu sau

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y - 1}{- 1} = \dfrac{z - 4}{2}$ và mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$.

Trả lời cho các câu 1, 2, 3 dưới đây:

Câu hỏi số 1:
Nhận biết

Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng d

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải
Câu hỏi:974181
Phương pháp giải

Thay toạ độ các điểm vào d và kiểm tra

Giải chi tiết

Thay toạ độ $A\left( {- 1; - 1; - 4} \right)$ vào d ta có $\dfrac{- 1 - 1}{2} \neq \dfrac{- 1 - 1}{- 1}$ nên $A \notin d$

Thay toạ độ $B\left( {2; - 1;2} \right)$ vào d ta có $\dfrac{2 - 1}{2} \neq \dfrac{- 1 - 1}{- 1}$ nên $B \notin d$

Thay toạ độ $C\left( {- 2;1;2} \right)$ vào d ta có $\dfrac{- 2 - 1}{2} \neq \dfrac{1 - 1}{- 1}$ nên $C \notin d$

Thay toạ độ $D\left( {3;0;6} \right)$ vào d ta có $\dfrac{3 - 1}{2} = \dfrac{0 - 1}{- 1} = \dfrac{6 - 4}{2} = 1$ nên $D \in d$

Đáp án cần chọn là: D

Câu hỏi số 2:
Vận dụng

Gọi M là một điểm thuộc d. Giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ M đến tâm mặt cầu (S) là

Đáp án đúng là: C

Xem lời giải
Câu hỏi:974182
Phương pháp giải

Tâm mặt cầu (S) là gốc tọa độ O.

Khoảng cách nhỏ nhất từ điểm $M \in d$ đến tâm O chính là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d.

Sử dụng công thức tính khoảng cách từ điểm $M_{0}$ đến đường thẳng $\Delta$ (đi qua $A$ và có vectơ chỉ phương $\overset{\rightarrow}{u}$): $d(M_{0},\Delta) = \dfrac{\left| \lbrack\overset{\rightarrow}{M_{0}A},\overset{\rightarrow}{u}\rbrack \right|}{\left| \overset{\rightarrow}{u} \right|}$.

Giải chi tiết

Mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$ có tâm $O(0;0;0)$ và bán kính $R = \sqrt{9} = 3$.

Đường thẳng d đi qua điểm $A(1;1;4)$ và có vectơ chỉ phương $\overset{\rightarrow}{u} = (2; - 1;2)$.

Ta có khoảng cách nhỏ nhất từ M thuộc d đến tâm O bằng $d(O,d)$.

Vectơ $\overset{\rightarrow}{OA} = (1;1;4)$.

Tích có hướng của $\overset{\rightarrow}{OA}$ và $\overset{\rightarrow}{u}$:

$\lbrack\overset{\rightarrow}{OA},\overset{\rightarrow}{u}\rbrack = \left( {\left| \begin{matrix} 1 & 4 \\ {- 1} & 2 \end{matrix} \right|;\left| \begin{matrix} 4 & 1 \\ 2 & 2 \end{matrix} \right|;\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & {- 1} \end{matrix} \right|} \right) = (6;6; - 3)$.

Độ dài của $\lbrack\overset{\rightarrow}{OA},\overset{\rightarrow}{u}\rbrack$ là: $\left| \lbrack\overset{\rightarrow}{OA},\overset{\rightarrow}{u}\rbrack \middle| = \sqrt{6^{2} + 6^{2} + {( - 3)}^{2}} = \sqrt{36 + 36 + 9} = 9 \right.$.

Độ dài của vectơ chỉ phương $\overset{\rightarrow}{u}$ là: $\left| \overset{\rightarrow}{u} \middle| = \sqrt{2^{2} + {( - 1)}^{2} + 2^{2}} = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3 \right.$.

Vậy, giá trị nhỏ nhất của khoảng cách cần tìm là:

$d(O,d) = \dfrac{\left| \lbrack\overset{\rightarrow}{OA},\overset{\rightarrow}{u}\rbrack \right|}{\left| \overset{\rightarrow}{u} \right|} = \dfrac{9}{3} = 3$.

Đáp án cần chọn là: C

Câu hỏi số 3:

Gọi $(P)$ là mặt phẳng có phương trình dạng $ax + by + cz + 9 = 0$. Biết rằng $(P)$ chứa $d$ và $(P)$ tiếp xúc với $(S)$. Tính giá trị biểu thức $T = a + b + c$.

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải
Câu hỏi:974183
Phương pháp giải

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d nên (P) đi qua điểm thuộc d và vectơ pháp tuyến của (P) vuông góc với vectơ chỉ phương của d.

Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên khoảng cách từ tâm mặt cầu đến (P) bằng bán kính mặt cầu.

Thiết lập hệ phương trình để tìm các hệ số a, b, c.

Giải chi tiết

Mặt cầu (S) có tâm $O(0;0;0)$ và bán kính $R = 3$.

Đường thẳng d đi qua điểm $A(1;1;4)$ và có vectơ chỉ phương $\overset{\rightarrow}{u} = (2; - 1;2)$.

Mặt phẳng (P) có phương trình $ax + by + cz + 9 = 0$, có vectơ pháp tuyến $\overset{\rightarrow}{n} = (a;b;c)$.

Do (P) chứa d nên (P) đi qua $A(1;1;4)$ và $\overset{\rightarrow}{n} \cdot \overset{\rightarrow}{u} = 0$.

Thay tọa độ A vào phương trình $(P)$: $\left. a(1) + b(1) + c(4) + 9 = 0\Leftrightarrow a + b + 4c + 9 = 0 \right.$ (1).

Điều kiện vuông góc: $\left. 2a - b + 2c = 0\Leftrightarrow b = 2a + 2c \right.$ (2).

Thế phương trình (2) vào (1) ta được:

$\left. a + (2a + 2c) + 4c + 9 = 0\Leftrightarrow 3a + 6c + 9 = 0\Leftrightarrow a + 2c + 3 = 0\Leftrightarrow a = - 2c - 3 \right.$.

Từ đó, thế lại vào tìm $b$: $b = 2( - 2c - 3) + 2c = - 4c - 6 + 2c = - 2c - 6$.

Do mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên khoảng cách từ O đến (P) bằng $R = 3$:

$\left. d(O,(P)) = 3\Leftrightarrow\dfrac{\left| a(0) + b(0) + c(0) + 9 \right|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = 3\Leftrightarrow\dfrac{9}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = 3 \right.$

$\left. \Leftrightarrow\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} = 3\Leftrightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} = 9 \right.$.

Thay $a = - 2c - 3$ và $b = - 2c - 6$ vào phương trình trên:

${( - 2c - 3)}^{2} + {( - 2c - 6)}^{2} + c^{2} = 9$

$\left. \Leftrightarrow(4c^{2} + 12c + 9) + (4c^{2} + 24c + 36) + c^{2} = 9 \right.$

$\left. \Leftrightarrow 9c^{2} + 36c + 36 = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow c^{2} + 4c + 4 = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow{(c + 2)}^{2} = 0\Leftrightarrow c = - 2 \right.$.

Với $c = - 2$, ta tính được:

$a = - 2( - 2) - 3 = 1$.

$b = - 2( - 2) - 6 = - 2$.

Vậy bộ số $(a;b;c)$ là $(1; - 2; - 2)$.

Phương trình mặt phẳng $(P)$ là $x - 2y - 2z + 9 = 0$.

Giá trị của biểu thức $T$ là: $T = a + b + c = 1 + ( - 2) + ( - 2) = - 3$.

Đáp án cần chọn là: B

Quảng cáo

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn

Khảo sát học từ vựng tiếng Anh

Chỉ mất 3 phút để chia sẻ trải nghiệm học từ vựng của bạn. Nhận quyền trải nghiệm ứng dụng miễn phí trước khi ra mắt.

Tham gia khảo sát →