Cho phương trình $\tan 2x + \cot\left( {x - \dfrac{\pi}{3}} \right) = 0$. Số nghiệm thuộc đoạn $\lbrack -

Câu hỏi số 974350:

Vận dụng

Cho phương trình $\tan 2x + \cot\left( {x - \dfrac{\pi}{3}} \right) = 0$. Số nghiệm thuộc đoạn $\lbrack - 2\pi;2\pi\rbrack$ của phương trình đã cho là

A. 2.

B. 4.

C. 3.

D. 6.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:974350

Phương pháp giải

Tìm điều kiện xác định của phương trình lượng giác.

Sử dụng công thức lượng giác của hai góc phụ nhau và hơn kém nhau $\dfrac{\pi}{2}$ để biến đổi phương trình về dạng cơ bản: $\left. \tan u = \tan v\Leftrightarrow u = v + k\pi \right.$.

Tìm nghiệm, đối chiếu với điều kiện xác định và tìm các nghiệm nằm trong đoạn $\lbrack - 2\pi;2\pi\rbrack$.

Giải chi tiết

Điều kiện xác định:$\left. \left\{ \begin{array}{l} {\cos 2x \neq 0} \\ {\sin\left( {x - \dfrac{\pi}{3}} \right) \neq 0} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {2x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi} \\ {x - \dfrac{\pi}{3} \neq m\pi} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {x \neq \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{k\pi}{2}} \\ {x \neq \dfrac{\pi}{3} + m\pi} \end{array} \right. \right.$ ($k,m \in {\mathbb{Z}}$).

Ta có phương trình:$\tan 2x + \cot\left( {x - \dfrac{\pi}{3}} \right) = 0$

$\left. \Leftrightarrow\tan 2x = - \cot\left( {x - \dfrac{\pi}{3}} \right) \right.$

$\left. \Leftrightarrow\tan 2x = \tan\left( {\dfrac{\pi}{2} + x - \dfrac{\pi}{3}} \right) \right.$

$\left. \Leftrightarrow\tan 2x = \tan\left( {x + \dfrac{\pi}{6}} \right) \right.$

$\left. \Leftrightarrow 2x = x + \dfrac{\pi}{6} + n\pi \right.$$\left. \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{6} + n\pi \right.$ ($n \in {\mathbb{Z}}$).

Kiểm tra điều kiện: Thay $x = \dfrac{\pi}{6} + n\pi$ vào các điều kiện ta thấy:$\cos\left( {2\left( {\dfrac{\pi}{6} + n\pi} \right)} \right) = \cos\left( {\dfrac{\pi}{3} + 2n\pi} \right) = \dfrac{1}{2} \neq 0$

$\sin\left( {\dfrac{\pi}{6} + n\pi - \dfrac{\pi}{3}} \right) = \sin\left( {- \dfrac{\pi}{6} + n\pi} \right) = \pm \dfrac{1}{2} \neq 0$.

Vậy họ nghiệm thỏa mãn điều kiện.

Theo giả thiết, nghiệm thuộc đoạn $\lbrack - 2\pi;2\pi\rbrack$ nên:

$\left. - 2\pi \leq \dfrac{\pi}{6} + n\pi \leq 2\pi\Leftrightarrow - 2 \leq \dfrac{1}{6} + n \leq 2\Leftrightarrow - \dfrac{13}{6} \leq n \leq \dfrac{11}{6} \right.$.

Do $n \in {\mathbb{Z}}$ nên $n \in \left\{ - 2; - 1;0;1 \right\}$.

Ứng với 4 giá trị của $n$, ta có 4 nghiệm của phương trình.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.