Một kiến trúc sư muốn thiết kế một cửa sổ đón nắng có dạng hình chữ nhật được vòm

Câu hỏi số 974493:

Vận dụng

Một kiến trúc sư muốn thiết kế một cửa sổ đón nắng có dạng hình chữ nhật được vòm lên trên bởi một nửa hình tròn (đường kính của nửa hình tròn trùng với cạnh trên của hình chữ nhật). Biết chu vi của toàn bộ khung cửa sổ cố định là 8 mét. Để diện tích cửa sổ đón được nhiều ánh sáng nhất, chiều rộng của cửa sổ (tức là đường kính của nửa hình tròn) phải bằng $\dfrac{a}{b + \pi}$ (mét), với a, b là các số nguyên dương. Giá trị biểu thức $P = a + b$ là bao nhiêu?

Đáp án:

Đáp án đúng là: 20

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:974493

Phương pháp giải

Gọi bán kính của nửa hình tròn là R, khi đó chiều rộng cửa sổ là 2R. Gọi chiều cao cạnh dọc hình chữ nhật là $y.$ Sử dụng dữ kiện chu vi bằng 8 để biểu diễn $y$ theo $R.$

Lập hàm số tính diện tích cửa sổ $S(R),$ dùng đạo hàm để tìm $R$ sao cho $S(R)$ đạt giá trị lớn nhất, từ đó đối chiếu với dạng $\dfrac{a}{b + \pi}$ để tìm a, b.

Giải chi tiết

Gọi bán kính vòm tròn là R, chiều cao cạnh bên hình chữ nhật là $y.$

Chu vi khung cửa sổ bao gồm cạnh đáy chữ nhật (2R), hai cạnh bên (2y) và nửa cung tròn ($\pi R$).

Theo bài ra: $\left. 2R + 2y + \pi R = 8\Rightarrow 2y = 8 - (2 + \pi)R\Rightarrow y = 4 - \left( {1 + \dfrac{\pi}{2}} \right)R \right.$

Diện tích cửa sổ: $S(R) = S_{hcn} + S_{nua\_ tron} = 2R \cdot y + \dfrac{1}{2}\pi R^{2}$

Thay $y$ vào:

$S(R) = 2R\left( {4 - R - \dfrac{\pi}{2}R} \right) + \dfrac{1}{2}\pi R^{2} = 8R - 2R^{2} - \pi R^{2} + \dfrac{1}{2}\pi R^{2} = - \left( {2 + \dfrac{\pi}{2}} \right)R^{2} + 8R.$

Đạo hàm: $S'(R) = 8 - 2\left( {2 + \dfrac{\pi}{2}} \right)R = 8 - \left( {4 + \pi} \right)R$ . Cho $\left. S'(R) = 0\Leftrightarrow R = \dfrac{8}{4 + \pi}. \right.$

Khi đó $S(R)$ đạt giá trị lớn nhất (do parabol có hệ số $a < 0$).

Chiều rộng của cửa sổ là: $x = 2R = \dfrac{16}{4 + \pi}$ suy ra $a = 16,\ b = 4.$

Giá trị cần tìm: $P = 16 + 4 = 20.$

Đáp án cần điền là: 20

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.