Để phương trình $\dfrac{5 + 4\sin\left( {\dfrac{3\pi}{2} - x} \right)}{\sin x} = \dfrac{6\tan\alpha}{1 +

Câu hỏi số 974495:

Vận dụng

Để phương trình $\dfrac{5 + 4\sin\left( {\dfrac{3\pi}{2} - x} \right)}{\sin x} = \dfrac{6\tan\alpha}{1 + \tan^{2}\alpha}$ có nghiệm thì $\alpha$ là?

A. $\alpha = \dfrac{\pi}{3} + k\dfrac{\pi}{2}$

B. $\alpha = \dfrac{\pi}{4} + k\dfrac{\pi}{2}$

C. $\alpha = - \dfrac{\pi}{4} + k\pi$

D. $\alpha = k\dfrac{\pi}{2}$

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:974495

Phương pháp giải

Biến đổi phương trình lượng giác, sau đó đánh giá bằng bất đẳng thức Bunyakovski:

$\left( {A\sin x + B\cos x} \right)^{2} \leq \left( {A^{2} + B^{2}} \right)\left( {\sin^{2}x + \cos^{2}x} \right) = A^{2} + B^{2}.$

Giải chi tiết

Điều kiện: $\sin x \neq 0$

Ta có: $\text{sin}\left( {\dfrac{3\pi}{2} - x} \right) = - \text{sin}\left( {\dfrac{\pi}{2} - x} \right) = - \text{cos}x$

$\dfrac{6\text{tan}\alpha}{1 + \text{tan}^{2}\alpha} = 6\tan\alpha\cos^{2}\alpha = 3\text{sin}2\alpha,\text{~cos}\alpha \neq 0$

$\left. \left( \text{*} \right)\Leftrightarrow\dfrac{5 - 4\text{cos}x}{\text{sin}x} = 3\text{sin}2\alpha\Leftrightarrow 3\text{sin}2\alpha\text{sin}x + 4\text{cos}x = 5 \right.$ (**)

Phương trình có nghiệm khi:

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {\text{cos}\alpha \neq 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ {\left( {3\text{sin}2\alpha} \right)^{2} + 16 \geq 25} \end{array}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {\text{cos}\alpha \neq 0\ \ } \\ {\text{sin}^{2}2\alpha \geq 1} \end{array}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {\text{cos}\alpha \neq 0\ \ } \\ {\text{sin}^{2}2\alpha = 1} \end{array} \right. \right. \right. \\ \left. \Leftrightarrow\text{cos}2\alpha = 0\Leftrightarrow\alpha = \dfrac{\pi}{4} + k\dfrac{\pi}{2} \right. \end{array}$

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.