Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết đồ thị hàm số $y = f'(x)$ có

Câu hỏi số 974496:

Vận dụng

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết đồ thị hàm số $y = f'(x)$ có đồ thị như sau:

Hàm số $g(x) = f\left( {x^{2} - 2x} \right)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Đáp án:

Đáp án đúng là: 5

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:974496

Phương pháp giải

Để tìm số điểm cực trị của hàm số hợp $g(x) = f\left( {u(x)} \right)$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm $g'(x) = u'(x) \cdot f'\left( {u(x)} \right)$.

2. Tìm các điểm thỏa mãn phương trình $g'(x) = 0$ tương đương với $u'(x) = 0$ hoặc $f'\left( {u(x)} \right) = 0$.

3. Dựa vào giả thiết của đồ thị $f'(x)$ (hoặc các điểm cực trị của $f(x)$), giải phương trình $f'\left( {u(x)} \right) = 0.$ Chú ý ta chỉ lấy các nghiệm mà qua đó $f'(x)$ có sự đổi dấu.

4. Tổng số nghiệm đơn (hoặc bội lẻ) phân biệt của phương trình $g'(x) = 0$ chính là số điểm cực trị của hàm số $g(x)$.

Giải chi tiết

Theo giả thiết, đồ thị hàm số $y = f'(x)$ cắt trục hoành (trục $Ox$) tại đúng 2 điểm phân biệt $x = 0$ và $x = 2$ (đều là các nghiệm đơn).

Do đó, phương trình $\left. f'(x) = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = 0} \\ {x = 2} \end{array} \right. \right.$ và $f'(x)$ đổi dấu khi đi qua hai nghiệm này.

Xét hàm số hợp $g(x) = f\left( {x^{2} - 2x} \right)$.

Ta có đạo hàm: $g'(x) = \left( {x^{2} - 2x} \right)' \cdot f'\left( {x^{2} - 2x} \right) = \left( {2x - 2} \right) \cdot f'\left( {x^{2} - 2x} \right)$.

Cho $\left. g'(x) = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {2x - 2 = 0\quad(1)} \\ {f'\left( {x^{2} - 2x} \right) = 0\quad(2)} \end{array} \right. \right.$

Giải phương trình $(1)$: $\left. 2x - 2 = 0\Leftrightarrow x = 1 \right.$ (là nghiệm đơn).

Giải phương trình $(2)$: Thay $u(x) = x^{2} - 2x$ vào các vị trí nghiệm của $f'(x)$, ta được:

$\left. f'\left( {x^{2} - 2x} \right) = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x^{2} - 2x = 0} \\ {x^{2} - 2x = 2} \end{array} \right. \right.$$\left. \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = 0} \\ {x = 2} \\ {x^{2} - 2x - 2 = 0} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = 0} \\ {x = 2} \\ {x = 1 + \sqrt{3}} \\ {x = 1 - \sqrt{3}} \end{array} \right. \right.$

Nhận thấy tất cả 4 nghiệm của phương trình $(2)$ đều là các nghiệm phân biệt và hoàn toàn khác với nghiệm $x = 1$ của phương trình $(1)$.

Vậy phương trình $g'(x) = 0$ có tất cả $1 + 4 = 5$ nghiệm đơn phân biệt, đồng nghĩa với việc $g'(x)$ sẽ đổi dấu khi đi qua 5 điểm này.

Suy ra hàm số $g(x)$ có 5 điểm cực trị.

Đáp án cần điền là: 5

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.