Một thùng rượu bằng gỗ có dạng khối tròn xoay tạo thành khi quay một hình phẳng giới hạn

Câu hỏi số 974497:

Vận dụng

Một thùng rượu bằng gỗ có dạng khối tròn xoay tạo thành khi quay một hình phẳng giới hạn bởi một cung parabol và trục $Ox$ quanh trục $Ox.$ Biết cung parabol có trục đối xứng vuông góc với trục $Ox$ và trục đối xứng chia thùng thành hai phần bằng nhau. Hai đáy là hai hình tròn bằng nhau có bán kính 30 cm, phần phình to nhất ở giữa có bán kính 40 cm, chiều cao thùng là 100 cm. Thể tích thùng rượu đó (làm tròn đến số nguyên gần nhất) bằng bao nhiêu lít?

Đáp án:

Đáp án đúng là: 425

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:974497

Phương pháp giải

Gắn hệ trục tọa độ $Oxy$ với gốc tọa độ $O$ là tâm của thùng (điểm chính giữa trục thùng). Thiết lập phương trình parabol làm đường sinh khối tròn xoay và dùng công thức tích phân để tính thể tích.

Giải chi tiết

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho gốc tọa độ $O$ là tâm của thùng rượu, trục $Ox$ trùng với trục của thùng.

Theo dữ kiện bài toán, cung parabol có trục đối xứng vuông góc với trục $Ox$ và đi qua tâm thùng, tức là trục đối xứng trùng với trục $Oy$. Đỉnh của parabol nằm trên trục $Oy$ tương ứng với phần phình to nhất, nên tọa độ đỉnh là $\left( {0;40} \right)$.

Phương trình parabol có dạng $y = ax^{2} + 40$.

Do chiều cao thùng là 100 cm nên gốc $O$ chia chiều cao thành 2 phần, hai đáy nằm tại mặt phẳng $x = - 50$ và $x = 50$.

Bán kính đáy là 30 cm nên đường parabol đi qua điểm $\left( {50;30} \right)$.

Thay tọa độ này vào phương trình parabol: $\left. 30 = a \cdot 50^{2} + 40\Leftrightarrow 2500a = - 10\Leftrightarrow a = - \dfrac{1}{250} \right.$.

Vậy phương trình biên của đường parabol là $y = - \dfrac{1}{250}x^{2} + 40$.

Thể tích thùng rượu được tính bằng công thức thể tích khối tròn xoay:

$V = \pi{\int_{- 50}^{50}y^{2}}dx = \pi{\int_{- 50}^{50}\left( {- \dfrac{1}{250}x^{2} + 40} \right)^{2}}dx$$= \dfrac{406000}{3} \approx 425162\text{~cm}^{3} \approx 425,16\text{~lít}$.

Đáp án cần điền là: 425

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.