Nguyên hàm $F(x)$ của $f(x) = (2x + 1)e^{x}$ thỏa $F(0) = 3$ là?

Câu hỏi số 974502:

Thông hiểu

A. $F(x) = (2x + 1)e^{x} + 2.$

B. $F(x) = (2x - 1)e^{x} - 2.$

C. $F(x) = (2x - 1)e^{x} + 4.$

D. $F(x) = 2xe^{x} + 3.$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:974502

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp hệ số bất định. Tính đạo hàm $F'(x)$ và đồng nhất hệ số với hàm số $f(x)$ dưới dấu tích phân để tìm a, b.

Dùng $F(0) = 3$ để tìm hằng số $C.$

Giải chi tiết

Giả sử nguyên hàm có dạng $F(x) = \left( {ax + b} \right)e^{x} + C$.

Đạo hàm hai vế, ta có: $F'(x) = a \cdot e^{x} + \left( {ax + b} \right) \cdot e^{x} = \left( {ax + a + b} \right)e^{x}$.

Để $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x) = \left( {2x + 1} \right)e^{x}$, ta phải có $F'(x) = f(x),\forall x$, tức là:

$\left( {ax + a + b} \right)e^{x} = \left( {2x + 1} \right)e^{x},\ \forall x$

Đồng nhất hệ số, ta có hệ phương trình: $\left. \left\{ \begin{array}{l} {a = 2} \\ {a + b = 1} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {a = 2} \\ {b = - 1} \end{array} \right. \right.$.

Suy ra dạng của nguyên hàm là $F(x) = \left( {2x - 1} \right)e^{x} + C$.

Theo giả thiết $\left. F(0) = 3\Leftrightarrow\left( {2 \cdot 0 - 1} \right)e^{0} + C = 3\Leftrightarrow - 1 + C = 3\Leftrightarrow C = 4 \right.$.

Vậy nguyên hàm cần tìm là $F(x) = \left( {2x - 1} \right)e^{x} + 4$.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.