Số nghiệm của phương trình $x^{2} - 4\sqrt{x^{2} + 1} - 4 = 0$ trong khoảng $(0;24)$ là

Câu hỏi số 974593:

Vận dụng

A. 3.

B. 2.

C. 0.

D. 1.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:974593

Phương pháp giải

Đặt ẩn phụ $t = \sqrt{x^{2} + 1}$. Chú ý tìm khoảng giá trị của $t$ dựa vào điều kiện của $x$ thuộc khoảng $(0;24)$.

Đưa phương trình ban đầu về phương trình bậc hai theo ẩn t. Giải tìm t, đối chiếu điều kiện rồi tìm lại nghiệm x để kết luận.

Giải chi tiết

Biến đổi phương trình đã cho: $\left. x^{2} - 4\sqrt{x^{2} + 1} - 4 = 0\Leftrightarrow(x^{2} + 1) - 4\sqrt{x^{2} + 1} - 5 = 0 \right.$.

Vì $x \in (0;24)$ nên ta có $x^{2} \in (0;576)$, suy ra $x^{2} + 1 \in (1;577)$.

Đặt $t = \sqrt{x^{2} + 1}$. Từ khoảng của $x^{2} + 1$, ta có điều kiện của $t$ là $t \in (1;\sqrt{577})$.

Phương trình trở thành: $t^{2} - 4t - 5 = 0$.

Giải phương trình bậc hai ta được hai nghiệm: $t = - 1$ và $t = 5$.

Đối chiếu với điều kiện $t \in (1;\sqrt{577})$, ta loại $t = - 1$ và chỉ nhận $t = 5$.

Với $t = 5$, ta có: $\left. \sqrt{x^{2} + 1} = 5\Leftrightarrow x^{2} + 1 = 25\Leftrightarrow x^{2} = 24\Leftrightarrow x = \pm 2\sqrt{6} \right.$.

Vì bài toán yêu cầu tìm nghiệm $x \in (0;24)$ và ta có $2\sqrt{6} \approx 4,899 \in (0;24)$ nên ta nhận $x = 2\sqrt{6}$ và loại nghiệm $x = - 2\sqrt{6}$.

Vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất trong khoảng $(0;24)$.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.