Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn $\log_{16}a = \log_{25}\dfrac{2a - b}{3} = \log_{20}b$. Đặt $T =

Câu hỏi số 974595:

Vận dụng

Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn $\log_{16}a = \log_{25}\dfrac{2a - b}{3} = \log_{20}b$. Đặt $T = \dfrac{a}{b}$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $0 < T < \dfrac{1}{2}$.

B. $\dfrac{1}{2} < T < \dfrac{2}{3}$.

C. $1 < T < 2$.

D. $- 2 < T < 0$.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:974595

Phương pháp giải

Đặt chuỗi đẳng thức logarit bằng một ẩn phụ t. Biểu diễn a, b và $\dfrac{2a - b}{3}$ dưới dạng các lũy thừa của t.

Thế a và b vào biểu thức còn lại để tạo thành phương trình đẳng cấp đối với hàm số mũ.

Chia cả hai vế của phương trình cho một cơ số thích hợp để đưa về phương trình bậc hai, qua đó giải tìm được tỉ số $T = \dfrac{a}{b}$.

Giải chi tiết

Đặt $\log_{16}a = \log_{25}\dfrac{2a - b}{3} = \log_{20}b = t$.

Khi đó ta có: $a = 16^{t}$, $b = 20^{t}$ và $\dfrac{2a - b}{3} = 25^{t}$.

Từ hệ thức $\dfrac{2a - b}{3} = 25^{t}$, ta suy ra: $2a - b = 3 \cdot 25^{t}$.

Thay $a = 16^{t}$ và $b = 20^{t}$ vào phương trình trên, ta thu được:

$\left. 2 \cdot 16^{t} - 20^{t} = 3 \cdot 25^{t}\Leftrightarrow 2 \cdot 16^{t} - 20^{t} - 3 \cdot 25^{t} = 0 \right.$.

$\left. 2 \cdot \left( \dfrac{16}{25} \right)^{t} - \left( \dfrac{20}{25} \right)^{t} - 3 = 0\Leftrightarrow 2 \cdot \left( \dfrac{4}{5} \right)^{2t} - \left( \dfrac{4}{5} \right)^{t} - 3 = 0 \right.$.

Đặt $u = \left( \dfrac{4}{5} \right)^{t}$ với điều kiện $u > 0$, ta có phương trình bậc hai: $2u^{2} - u - 3 = 0$.

Giải phương trình ta được hai nghiệm $u = - 1$ (loại vì $u > 0$) và $u = \dfrac{3}{2}$ (thỏa mãn).

Suy ra $\left( \dfrac{4}{5} \right)^{t} = \dfrac{3}{2}$.

Theo đề bài, biểu thức cần tính là: $T = \dfrac{a}{b} = \dfrac{16^{t}}{20^{t}} = \left( \dfrac{16}{20} \right)^{t} = \left( \dfrac{4}{5} \right)^{t}$.

Vậy $T = \dfrac{3}{2} = 1,5$.

Kiểm tra với các đáp án, ta thấy $1 < 1,5 < 2$.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.