Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ có đồ thị $(C)$. Gọi $(H)$ là hình phẳng giới

Câu hỏi số 974596:

Vận dụng

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ có đồ thị $(C)$. Gọi $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn có bán kính $r = 2$ và đồ thị $(C)$ như hình vẽ. Biết $(H)$ có diện tích là $\dfrac{31}{4}$ và ${\int_{- 2}^{2}f}(1 - x)dx = a\pi + \dfrac{b}{2}$, tính $a + b$.

A. $a + b = \dfrac{9}{4}$.

B. $a + b = \dfrac{5}{2}$.

C. $a + b = 3$.

D. $a + b = 4$

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:974596

Phương pháp giải

Dựa vào dữ kiện và quan sát hình vẽ để lập phương trình biểu diễn nửa đường tròn phía trên.

Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi hai đường thông qua tích phân.

Dùng ý nghĩa hình học để tính tích phân phần nửa đường tròn, qua đó tìm được giá trị của ${\int_{- 1}^{3}f}(x)dx$.

Giải chi tiết

Nhìn vào đồ thị ta thấy hình phẳng $(H)$ được giới hạn bởi phần phía trên là nửa đường tròn và phần phía dưới là đồ thị $y = f(x)$, với hoành độ trải dài từ $x = - 1$ đến $x = 3$.

Nửa đường tròn này có đường kính song song với trục hoành nằm trên đường thẳng $y = 2$, kéo dài từ $x = - 1$ đến $x = 3$.

Chiều dài đường kính là $3 - ( - 1) = 4$, khớp với bán kính đề cho là $r = 2$.

Tâm của nửa đường tròn là trung điểm của đoạn thẳng này, có toạ độ là $I(1;2)$.

Phương trình hàm số mô tả nửa đường tròn phía trên đường thẳng $y = 2$ là: $y = 2 + \sqrt{4 - {(x - 1)}^{2}}$

Diện tích của hình phẳng $(H)$ là $\dfrac{31}{4}$, nên ta có phương trình:

${\int_{- 1}^{3}\left\lbrack {\left( {2 + \sqrt{4 - {(x - 1)}^{2}}} \right) - f(x)} \right\rbrack}dx = \dfrac{31}{4}$

$\left. \Leftrightarrow{\int_{- 1}^{3}\left( {2 + \sqrt{4 - {(x - 1)}^{2}}} \right)}dx - {\int_{- 1}^{3}f}(x)dx = \dfrac{31}{4}\quad(1) \right.$

Ta có $I_{1} = {\int_{- 1}^{3}\left( {2 + \sqrt{4 - {(x - 1)}^{2}}} \right)}dx = 8 + 2\pi$.

Nên $8 + 2\pi - {\int_{- 1}^{3}f}(x)dx = \dfrac{31}{4}$

$\left. \Rightarrow{\int_{- 1}^{3}f}(x)dx = 8 + 2\pi - \dfrac{31}{4} = 2\pi + \dfrac{1}{4} \right.$.

Xét tích phân cần tính: $J = {\int_{- 2}^{2}f}(1 - x)dx$.

Sử dụng phép đổi biến số, đặt $\left. u = 1 - x\Rightarrow du = - dx \right.$.

Đổi cận: Khi $x = - 2$ thì $u = 3$; khi $x = 2$ thì $u = - 1$.

Thay vào tích phân J:

$J = {\int_{3}^{- 1}f}(u)( - du) = {\int_{- 1}^{3}f}(u)du = {\int_{- 1}^{3}f}(x)dx$.

Vậy ${\int_{- 2}^{2}f}(1 - x)dx = 2\pi + \dfrac{1}{4}$.

Theo giả thiết đề bài, ${\int_{- 2}^{2}f}(1 - x)dx = a\pi + \dfrac{b}{2}$

Suy ra $a = 2$ và $\left. \dfrac{b}{2} = \dfrac{1}{4}\Rightarrow b = \dfrac{1}{2} \right.$.

Từ đó tính tổng $a + b = 2 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}$.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.