Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \sqrt{3}\sin x + \cos x + 2025$ là

Câu hỏi số 974601:

Thông hiểu

A. 2023.

B. 2024.

C. 2025.

D. 2021.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:974601

Phương pháp giải

Sử dụng hằng đẳng thức lượng giác hoặc điều kiện có nghiệm của phương trình dạng $a\sin x + b\cos x = c$.

Biểu thức $a\sin x + b\cos x$ luôn nằm trong đoạn $\left\lbrack {- \sqrt{a^{2} + b^{2}};\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \right\rbrack$.

Từ đó tìm được giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Giải chi tiết

Xét biểu thức lượng giác $T = \sqrt{3}\sin x + \cos x$.

Ta có dạng $a\sin x + b\cos x$ với $a = \sqrt{3},b = 1$.

Ta biến đổi:

$T = 2\left( {\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x + \dfrac{1}{2}\cos x} \right) = 2\left( {\sin x\cos\dfrac{\pi}{6} + \cos x\sin\dfrac{\pi}{6}} \right) = 2\sin\left( {x + \dfrac{\pi}{6}} \right)$.

Vì $- 1 \leq \sin\left( {x + \dfrac{\pi}{6}} \right) \leq 1$ với mọi $x \in {\mathbb{R}}$, nên:

$- 2 \leq 2\sin\left( {x + \dfrac{\pi}{6}} \right) \leq 2$

$\left. \Rightarrow - 2 \leq \sqrt{3}\sin x + \cos x \leq 2 \right.$.

Cộng cả các vế với 2025, ta được:

$- 2 + 2025 \leq \sqrt{3}\sin x + \cos x + 2025 \leq 2 + 2025$

$\left. \Leftrightarrow 2023 \leq y \leq 2027 \right.$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2023, đạt được khi $\sin\left( {x + \dfrac{\pi}{6}} \right) = - 1$.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.