Đồ thị hàm số $f(x)$ có 4 đường tiệm cận đứng và 1 đường tiệm cận ngang. Hỏi đồ thị

Câu hỏi số 974603:

Vận dụng

Đồ thị hàm số $f(x)$ có 4 đường tiệm cận đứng và 1 đường tiệm cận ngang. Hỏi đồ thị hàm số $g(x) = f(x) \cdot \dfrac{\sqrt{x^{10} - 1}}{x^{3} - 8}$ có tối đa bao nhiêu đường tiệm cận (cả đứng lẫn ngang)?

A. 5.

B. 8.

C. 6.

D. 7.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:974603

Phương pháp giải

Phân tích hàm số $g(x) = f(x) \cdot h(x)$ với $h(x) = \dfrac{\sqrt{x^{10} - 1}}{x^{3} - 8}$.

Tìm điều kiện xác định của $h(x)$ để đánh giá số lượng tiệm cận đứng tối đa có thể giữ lại từ $f(x)$ và thêm vào từ $h(x)$.

Đánh giá giới hạn của $h(x)$ khi $\left. x\rightarrow \pm \infty \right.$ để tìm số lượng tiệm cận ngang tối đa của $g(x)$ dựa trên tiệm cận ngang của $f(x)$.

Giải chi tiết

Xét hàm phân thức $h(x) = \dfrac{\sqrt{x^{10} - 1}}{x^{3} - 8}$.

Điều kiện xác định: $\left. x^{10} - 1 \geq 0\Leftrightarrow x \geq 1 \right.$ hoặc $x \leq - 1$.

Nghiệm của mẫu số là $\left. x^{3} - 8 = 0\Leftrightarrow x = 2 \right.$.

Về tiệm cận đứng (TCĐ):

Hàm số $h(x)$ có 1 TCĐ là $x = 2$ (do giới hạn tại đây ra vô cực).

Nếu ta chọn hàm $f(x)$ sao cho $f(2) \neq 0$ thì $x = 2$ cũng là 1 TCĐ của $g(x)$.

Hàm $f(x)$ có 4 TCĐ. Ta hoàn toàn có thể giả sử 4 đường này nằm trong tập xác định của $h(x)$ và khác 2.

Khi nhân với $h(x)$ (có giá trị hữu hạn và khác 0 tại các điểm đó), $g(x)$ vẫn sẽ nhận 4 đường này làm TCĐ.

Vậy $g(x)$ có tối đa $1 + 4 = 5$ đường TCĐ.

Về tiệm cận ngang (TCN):

Khi $\left. x\rightarrow + \infty \right.$, $\left. h(x) \right.\sim\dfrac{\sqrt{x^{10}}}{x^{3}} = x^{2}$.

Khi $\left. x\rightarrow - \infty \right.$, $\left. h(x) \right.\sim\dfrac{\sqrt{x^{10}}}{x^{3}} = \dfrac{- x^{5}}{x^{3}} = - x^{2}$.

Hàm số $f(x)$ có 1 TCN, tức là tồn tại ít nhất một giới hạn $\lim\limits_{x\rightarrow \pm \infty}f(x) = C$.

Để $g(x)$ có TCN, ta giả sử $\lim\limits_{x\rightarrow \pm \infty}f(x) = 0$ và cụ thể $\left. f(x) \right.\sim\dfrac{k}{x^{2}}$.

Khi đó:

$\lim\limits_{x\rightarrow + \infty}g(x) = \lim\limits_{x\rightarrow + \infty}\left( {\dfrac{k}{x^{2}} \cdot x^{2}} \right) = k$.

$\lim\limits_{x\rightarrow - \infty}g(x) = \lim\limits_{x\rightarrow - \infty}\left( {\dfrac{k}{x^{2}} \cdot ( - x^{2})} \right) = - k$.

Với $k \neq 0$, ta thu được 2 giá trị giới hạn khác nhau ($k$ và $- k$).

Do đó, $g(x)$ có thể có tối đa 2 TCN.

Tổng số đường tiệm cận tối đa của đồ thị hàm số $g(x)$ là $5 + 2 = 7$.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.