Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu sauCho cấp số nhân $(u_{n})$ có công bội

Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu sau

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ có công bội dương thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l} {u_{6} = \dfrac{1}{8}} \\ {\dfrac{u_{5} - u_{1}}{u_{3} - u_{1}} = \dfrac{5}{4}} \end{array} \right.$

Trả lời cho các câu 1, 2 dưới đây:

Câu hỏi số 1:
Thông hiểu

Tổng giá trị của $u_{1}$ và công bội của cấp số nhân $(u_{n})$ là

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải
Câu hỏi:974612
Phương pháp giải

Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: $u_{n} = u_{1} \cdot q^{n - 1}$.

Biến đổi hệ phương trình đã cho để đưa về phương trình ẩn $q$, từ đó tìm được công bội $q$ và số hạng đầu $u_{1}$.

Giải chi tiết

Gọi q là công bội của cấp số nhân $(u_{n})$. Theo giả thiết ta có $q > 0$.

Áp dụng công thức số hạng tổng quát $u_{n} = u_{1} \cdot q^{n - 1}$, ta biến đổi phương trình thứ hai của hệ:

$\dfrac{u_{5} - u_{1}}{u_{3} - u_{1}} = \dfrac{5}{4}$

$\left. \Leftrightarrow\dfrac{u_{1} \cdot q^{4} - u_{1}}{u_{1} \cdot q^{2} - u_{1}} = \dfrac{5}{4} \right.$

$\left. \Leftrightarrow\dfrac{u_{1}(q^{4} - 1)}{u_{1}(q^{2} - 1)} = \dfrac{5}{4} \right.$

Vì $u_{6} = \dfrac{1}{8} \neq 0$ nên $u_{1} \neq 0$.

Đồng thời $q > 0$, để mẫu số khác 0 thì $q \neq 1$.

Rút gọn phân thức ta được:

$\dfrac{(q^{2} - 1)(q^{2} + 1)}{q^{2} - 1} = \dfrac{5}{4}$

$\left. \Leftrightarrow q^{2} + 1 = \dfrac{5}{4} \right.$

$\left. \Leftrightarrow q^{2} = \dfrac{1}{4} \right.$

Do $q > 0$ nên ta nhận $q = \dfrac{1}{2}$.

Thay $q = \dfrac{1}{2}$ vào phương trình đầu tiên của hệ:

$\left. u_{6} = \dfrac{1}{8}\Leftrightarrow u_{1} \cdot q^{5} = \dfrac{1}{8} \right.$

$\left. \Leftrightarrow u_{1} \cdot \left( \dfrac{1}{2} \right)^{5} = \dfrac{1}{8} \right.$

$\left. \Leftrightarrow u_{1} \cdot \dfrac{1}{32} = \dfrac{1}{8} \right.$

$\left. \Leftrightarrow u_{1} = \dfrac{32}{8} = 4 \right.$.

Tổng giá trị của $u_{1}$ và công bội $q$ là: $u_{1} + q = 4 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{9}{2}$.

Đáp án cần chọn là: A

Câu hỏi số 2:
Vận dụng

Đặt dãy số $(v_{n})$ sao cho $v_{n} = {(u_{n})}^{2}$. Tổng các số hạng của dãy số $(v_{n})$ bằng

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải
Câu hỏi:974613
Phương pháp giải

Dựa vào công thức của dãy số $(v_{n})$, chứng minh $(v_{n})$ cũng là một cấp số nhân.

Nhận xét công bội của $(v_{n})$ có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 1 nên đây là cấp số nhân lùi vô hạn.

Sử dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn: $S = \dfrac{v_{1}}{1 - Q}$ để tìm kết quả.

Giải chi tiết

Từ kết quả của trên, cấp số nhân $(u_{n})$ có số hạng đầu $u_{1} = 4$ và công bội $q = \dfrac{1}{2}$.

Số hạng tổng quát của $(u_{n})$ là: $u_{n} = 4 \cdot \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n - 1}$.

Dãy số $(v_{n})$ được xác định bởi $v_{n} = {(u_{n})}^{2}$, do đó:

$v_{n} = \left\lbrack {4 \cdot \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n - 1}} \right\rbrack^{2} = 16 \cdot \left( \dfrac{1}{4} \right)^{n - 1}$.

Từ biểu thức trên, ta thấy $(v_{n})$ là một cấp số nhân có số hạng đầu $v_{1} = 16$ và công bội $Q = \dfrac{1}{4}$.

Vì $|Q| = \dfrac{1}{4} < 1$ nên dãy số $(v_{n})$ là một cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng các số hạng của dãy số $(v_{n})$ được tính bằng công thức:

$S = \dfrac{v_{1}}{1 - Q} = \dfrac{16}{1 - \dfrac{1}{4}} = \dfrac{16}{\dfrac{3}{4}} = \dfrac{64}{3}$.

Đáp án cần chọn là: B

Quảng cáo

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn

Khảo sát học từ vựng tiếng Anh

Chỉ mất 3 phút để chia sẻ trải nghiệm học từ vựng của bạn. Nhận quyền trải nghiệm ứng dụng miễn phí trước khi ra mắt.

Tham gia khảo sát →