Người ta quây lưới để nuôi riêng cá chép trên một góc hồ. Biết rằng lưới được quây theo

Câu hỏi số 974685:

Vận dụng

Người ta quây lưới để nuôi riêng cá chép trên một góc hồ. Biết rằng lưới được quây theo một đường thẳng từ một vị trí trên bờ ngang đến một vị trí trên bờ dọc và phải đi qua một cái cọc đã cắm sẵn ở vị trí $A.$

Khoảng cách từ cọc đến bờ ngang là $6\text{~m}$ và khoảng cách từ cọc đến bờ dọc là $9\text{~m,}$ diện tích nhỏ nhất có thể quây lưới (tính theo $\text{m}^{\text{2}})$ là

Đáp án:

Đáp án đúng là: 108

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:974685

Phương pháp giải

Sử dụng phương trình đường thẳng theo đoạn chắn, thay tọa độ $A$ vào để có điều kiện ràng buộc. Tìm cực trị của biểu thức diện tích bằng cách khảo sát hàm số hoặc bất đẳng thức.

Giải chi tiết

Gọi $O$ là gốc tọa độ trùng với góc hồ. Bờ ngang và bờ dọc lần lượt nằm trên hai trục tọa độ Ox và Oy.

Theo đề bài, tọa độ cọc $A$ là $A\left( {9;6} \right).$

Gọi $B\left( {b;0} \right)$ và $C\left( {0;c} \right)$ là hai điểm trên bờ ngang và bờ dọc mà lưới đi qua $\left( {b > 9,\ c > 6} \right).$

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm B, C có dạng phương trình đoạn chắn: $\dfrac{x}{b} + \dfrac{y}{c} = 1$

Vì đường thẳng này đi qua điểm $A\left( {9;6} \right)$ nên ta có hệ thức: $\dfrac{9}{b} + \dfrac{6}{c} = 1\quad(*)$

Diện tích khu nuôi cá là diện tích tam giác vuông OBC: $S = \dfrac{1}{2}bc.$

Áp dụng bất đẳng thức AMGM (Cauchy) cho hai số dương $\dfrac{9}{b}$ và $\dfrac{6}{c}$, ta có:

$1 = \dfrac{9}{b} + \dfrac{6}{c} \geq 2\sqrt{\dfrac{9}{b} \cdot \dfrac{6}{c}} = 2\sqrt{\dfrac{54}{bc}}.$

Bình phương hai vế: $\left. 1 \geq 4 \cdot \dfrac{54}{bc}\Rightarrow 1 \geq \dfrac{216}{bc}\Rightarrow bc \geq 216. \right.$

Thay vào công thức tính diện tích: $S = \dfrac{1}{2}bc \geq \dfrac{1}{2} \cdot 216 = 108.$

Dấu bằng xảy ra khi $\dfrac{9}{b} = \dfrac{6}{c} = \dfrac{1}{2}$, tức là $b = 18$ và $c = 12.$

Đáp án cần điền là: 108

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.