Trong không gian Oxyz, cho điểm $A\left( {2;1;1} \right),$ đường thẳng $\Delta:\dfrac{x - 3}{2} = \dfrac{y -

Câu hỏi số 974692:

Vận dụng

Trong không gian Oxyz, cho điểm $A\left( {2;1;1} \right),$ đường thẳng $\Delta:\dfrac{x - 3}{2} = \dfrac{y - 1}{1} = \dfrac{z + 3}{- 1}.$ Gọi $(Q)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $\Delta$ sao cho khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(Q)$ lớn nhất. Phương trình mặt phẳng $(Q)$ là

A. $- x + y + z + 5 = 0.$

B. $x + y + 3z + 5 = 0.$

C. $2x - y + 3z + 4 = 0.$

D. $3x - y + 5z + 7 = 0.$

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:974692

Phương pháp giải

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên đường thẳng $\Delta$ và $K$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên mặt phẳng $(Q).$

Ta luôn có $AK \leq AH,$ do đó khoảng cách AK lớn nhất khi $K$ trùng với $H.$

Khi đó mặt phẳng $(Q)$ là mặt phẳng đi qua đường thẳng $\Delta$ và vuông góc với đường thẳng $AH.$

Giải chi tiết

Trước hết ta tìm tọa độ điểm $H$ thuộc $\Delta.$ Gọi $H\left( {3 + 2t;1 + t; - 3 - t} \right),$ ta có vectơ $\overset{\rightarrow}{AH} = \left( {1 + 2t;t; - 4 - t} \right).$

Vì $AH$ vuông góc với $\Delta$ nên tích vô hướng của $\overset{\rightarrow}{AH}$ với vectơ chỉ phương ${\overset{\rightarrow}{u}}_{\Delta} = \left( {2;1; - 1} \right)$ bằng 0.

Giải phương trình $2\left( {1 + 2t} \right) + 1(t) - 1\left( {- 4 - t} \right) = 0$ ta được $6t + 6 = 0$ hay $t = - 1.$ Suy ra $H\left( {1;0; - 2} \right)$ và $\overset{\rightarrow}{AH} = \left( {- 1; - 1; - 3} \right).$

Mặt phẳng $(Q)$ cần tìm đi qua điểm $H\left( {1;0; - 2} \right)$ và nhận vectơ pháp tuyến ${\overset{\rightarrow}{n}}_{Q} = - \overset{\rightarrow}{AH} = \left( {1;1;3} \right).$

Phương trình mặt phẳng là $1\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 0} \right) + 3\left( {z + 2} \right) = 0,$ rút gọn ta được $x + y + 3z + 5 = 0.$

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.