Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 lập các số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau. Trong

Câu hỏi số 974693:

Vận dụng

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 lập các số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau.

Trong các số lập được chọn ngẫu nhiên một số. Xác suất để số được chọn chia hết cho 6666 bằng

Đáp án:

Đáp án đúng là: 1/210

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:974693

Phương pháp giải

Bước 1: Tính số phần tử của không gian mẫu.

Bước 2: Phân tích điều kiện chia hết. Một số N chia hết cho 6666 nghĩa là chia hết cho 2, 3 và 1111.

Bước 3: Xác định cấu trúc số thỏa mãn.

Số $\overline{abcdefgh} = 10^{4} \cdot \overline{abcd} + \overline{efgh}.$ Đặt $X = \overline{abcd}$ và $Y = \overline{efgh}.$

Để $N \vdots 1111$ thì $\left( {X + Y} \right) \vdots 1111.$ Bên cạnh đó $\left( {X + Y} \right) \vdots 9.$

Bước 4: Xét điều kiện chia hết cho 2.

Giải chi tiết

Số phần tử không gian mẫu: $n(\Omega) = 8! = 40320.$

Một số N chia hết cho 6666 khi và chỉ khi $N$ chia hết cho 2, 3 và 1111.

Đặt $X = \overline{abcd}$ và $Y = \overline{efgh}.$

Khi đó $N = \overline{abcdefgh} = 10^{4} \cdot \overline{abcd} + \overline{efgh} = \left( {9999 + 1} \right) \cdot \overline{abcd} + \overline{efgh} = 9999 \cdot \overline{abcd} + \overline{abcd} + \overline{efgh}.$

Để $N \vdots 1111$ thì $\left( {X + Y} \right) \vdots 1111.$

Tổng các chữ số bằng 36, do đó $\left( {X + Y} \right) \vdots 9.$

Với các chữ số từ $1$ đến 8, $X + Y$ chỉ có thể bằng 9999.

Điều này xảy ra khi các cặp chữ số tương ứng ở cùng vị trí của $X$ và $Y$ có tổng bằng $9$:

$\left\{ {1,8} \right\},\left\{ {2,7} \right\},\left\{ {3,6} \right\},\left\{ {4,5} \right\}.$

Các cặp $\left\{ {a,e} \right\};\left\{ {b,f} \right\};\left\{ {c,g} \right\};\left\{ {d,h} \right\}$ phải là hoán vị của các bộ $\left\{ {1,8} \right\},\left\{ {2,7} \right\},\left\{ {3,6} \right\},\left\{ {4,5} \right\}.$

Số các số chia hết cho 1111 được tính bằng cách xếp 4 bộ vào 4 vị trí (4! cách) và hoán đổi vị trí (trong mỗi bộ có 2 cách, trong 4 bộ là $2^{4}$ cách), tổng cộng là $4! \cdot 2^{4} = 384$ số.

Để $N \vdots 6666,$ $N$ phải chia hết cho 2, tức chữ số tận cùng phải là số chẵn.

Trong mỗi cặp chữ số tổng bằng 9, luôn có 1 số chẵn và 1 số lẻ.

Do tính đối xứng, số lượng số có $x_{8}$ chẵn là $\dfrac{384}{2} = 192.$

Xác suất: ${\mathbb{P}} = \dfrac{192}{40320} = \dfrac{1}{210}.$

Đáp án cần điền là: 1/210

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.