Cho hàm số $y = f(x)$ là hàm đa thức bậc bốn, có đồ thị của hàm số

Câu hỏi số 974694:

Vận dụng

Cho hàm số $y = f(x)$ là hàm đa thức bậc bốn, có đồ thị của hàm số $y = f'(x)$ như hình vẽ sau.

Biết $f\left( {- 1} \right) = 5,$ diện tích hình phẳng $(B)$ lớn hơn diện tích hình phẳng $(A)$ là $\dfrac{875}{4}.$

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f(x)$ trên $\left\lbrack {0;3} \right\rbrack$ là

Đáp án:

Đáp án đúng là: -107

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:974694

Phương pháp giải

Phân tích đồ thị đạo hàm cắt trục hoành tại 3 điểm và thiết lập công thức cho đạo hàm. Sử dụng dữ kiện diện tích, lưu ý diện tích được tính bằng công thức $S = {\int\limits_{a}^{b}{\left| {g(x)} \right|dx}}.$

Từ đó tìm hàm số $y = f(x)$ và tìm giá trị nhỏ nhất trên đoạn $\left\lbrack {0;3} \right\rbrack$ bằng cách khảo sát hàm số.

Giải chi tiết

Ta có:

$S_{A} = {\int_{- 1}^{1}{\left| {f'(x)} \right|dx}} = {\int_{- 1}^{1}f'}(x)dx\ \left( {f'(x) \geq 0} \right) = f(1) - f\left( {- 1} \right).$

$S_{B} = {\int_{1}^{4}{\left| {f'(x)} \right|dx}} = {\int_{1}^{4}{- f'(x)dx}}\ \left( {f'(x) \leq 0} \right) = f(1) - f(4).$

Theo đề bài: $S_{A} - S_{B} = - \dfrac{875}{4}$

$\begin{array}{l} \left. \Rightarrow\left( {f(1) - f\left( {- 1} \right)} \right) - \left( {f(1) - f(4)} \right) = - \dfrac{875}{4} \right. \\ \left. \Rightarrow f\left( {- 1} \right) - f(4) = - \dfrac{875}{4} \right. \\ \left. \Rightarrow{\int_{- 1}^{4}{f'(x)dx}} = - \dfrac{875}{4} \right. \\ \left. \Rightarrow{\int_{- 1}^{4}{k\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 4} \right)dx}} = - \dfrac{875}{4} \right. \\ \left. \Rightarrow k{\int_{- 1}^{4}{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 4} \right)dx}} = - \dfrac{875}{4} \right. \\ \left. \Rightarrow k \cdot \left( {- \dfrac{125}{12}} \right) = - \dfrac{875}{4} \right. \\ \left. \Rightarrow k = 21 \right. \end{array}$

Trên đoạn $\left\lbrack {0,3} \right\rbrack,$ hàm số tăng từ $0$ đến $1$ và giảm từ $1$ đến 3.

Ta so sánh hai đầu mút:

$f(3)=f(-1)+\int_{-1}^3 21\left(x^3-4 x^2-x+4\right) d x=5-112=-107 $

$f(0)=f(-1)+\int_{-1}^0 21\left(x^3-4 x^2-x+4\right) d x=5+\dfrac{245}{4}=66,25$

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $[0,3]$ là $f(3)=-107$.

Đáp án cần điền là: -107

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.