Biết rằng ${\int_{0}^{2}\dfrac{{(e^{x} - 2)}^{2}}{e^{x}}}dx = \dfrac{m.e^{4} + n.e^{2} + p}{e^{2}}$, với $m,n,p

Câu hỏi số 974706:

Vận dụng

Biết rằng ${\int_{0}^{2}\dfrac{{(e^{x} - 2)}^{2}}{e^{x}}}dx = \dfrac{m.e^{4} + n.e^{2} + p}{e^{2}}$, với $m,n,p \in {\mathbb{Z}}$. Khi đó $4m + 3n - 2p$ bằng

A. 2.

B. -5.

C. -3.

D. 6.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:974706

Phương pháp giải

Khai triển hằng đẳng thức ở tử số rồi chia cho mẫu số để tách thành các nguyên hàm cơ bản.

Sử dụng công thức ${\int e^{kx}}dx = \dfrac{1}{k}e^{kx} + C$.

Sau khi tính tích phân, đồng nhất hệ số để tìm ra giá trị của m, n, p.

Giải chi tiết

Ta có:

${\int_{0}^{2}\dfrac{{(e^{x} - 2)}^{2}}{e^{x}}}dx = {\int_{0}^{2}\dfrac{e^{2x} - 4e^{x} + 4}{e^{x}}}dx$

$= {\int_{0}^{2}{(e^{x} - 4 + 4e^{- x})}}dx$

$= (e^{x} - 4x - 4e^{- x})|_{0}^{2}$

$= (e^{2} - 4.2 - 4e^{- 2}) - (e^{0} - 4.0 - 4e^{0})$

$= (e^{2} - 8 - \dfrac{4}{e^{2}}) - (1 - 0 - 4)$

$= \dfrac{e^{4} - 8e^{2} - 4}{e^{2}} - ( - 3)$

$= \dfrac{e^{4} - 8e^{2} - 4 + 3e^{2}}{e^{2}}$

$= \dfrac{e^{4} - 5e^{2} - 4}{e^{2}}$.

Theo giả thiết, tích phân bằng $\dfrac{m.e^{4} + n.e^{2} + p}{e^{2}}$.

Đồng nhất hệ số, ta được: $m = 1$, $n = - 5$, $p = - 4$.

Khi đó: $4m + 3n - 2p = 4(1) + 3( - 5) - 2( - 4) = 4 - 15 + 8 = - 3$.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.