Cho tam giác ABC thỏa mãn $AC.(AC^{2} - BC^{2}) = AB.(BC^{2} - AB^{2})$. Tính số đo góc

Câu hỏi số 974711:

Vận dụng

Cho tam giác ABC thỏa mãn $AC.(AC^{2} - BC^{2}) = AB.(BC^{2} - AB^{2})$. Tính số đo góc $\widehat{BAC}$.

A. $30^{{^\circ}}$.

B. $60^{{^\circ}}$.

C. $90^{{^\circ}}$.

D. $45^{{^\circ}}$.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:974711

Phương pháp giải

Sử dụng định lí côsin trong tam giác: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\cos A$.

Biến đổi giả thiết đã cho về dạng liên hệ giữa các cạnh để tìm $\cos A$, từ đó suy ra góc $\widehat{BAC}$.

Giải chi tiết

Đặt $BC = a,AC = b,AB = c$. Giả thiết bài toán trở thành:

$b(b^{2} - a^{2}) = c(a^{2} - c^{2})$

$\left. \Leftrightarrow b^{3} - ba^{2} = ca^{2} - c^{3} \right.$

$\left. \Leftrightarrow b^{3} + c^{3} = ba^{2} + ca^{2} \right.$

$\left. \Leftrightarrow(b + c)(b^{2} - bc + c^{2}) = a^{2}(b + c) \right.$

Vì b, c là độ dài các cạnh của tam giác nên $b + c > 0$.

Chia cả hai vế của phương trình cho $b + c$, ta được:

$b^{2} - bc + c^{2} = a^{2}$

Theo định lí côsin trong tam giác ABC, ta có:

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\cos A$

Suy ra: $b^{2} - bc + c^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\cos A$

$\left. \Leftrightarrow - bc = - 2bc\cos A \right.$

$\left. \Leftrightarrow\cos A = \dfrac{1}{2} \right.$

$\left. \Rightarrow\widehat{BAC} = 60^{{^\circ}} \right.$.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.