Cho hàm số $y = \dfrac{2x - 1}{x - 1}$ có đồ thị $(C)$. Gọi điểm $A$ thuộc đồ thị $(C)$ sao cho

Câu hỏi số 974713:

Vận dụng

Cho hàm số $y = \dfrac{2x - 1}{x - 1}$ có đồ thị $(C)$. Gọi điểm $A$ thuộc đồ thị $(C)$ sao cho tiếp tuyến của $(C)$ tại A cắt hai đường tiệm cận lần lượt tại H, K và HK đạt giá trị nhỏ nhất. Tích các giá trị tung độ của điểm A thỏa mãn yêu cầu bài toán là

A. 0.

B. 1.

C. 3.

D. 4.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:974713

Phương pháp giải

Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại điểm $A(x_{0},y_{0})$ thuộc $(C)$.

Tìm tọa độ giao điểm H, K của tiếp tuyến với hai đường tiệm cận.

Tính độ dài đoạn HK, sử dụng bất đẳng thức AM-GM (Cauchy) để tìm giá trị nhỏ nhất và dấu "=" xảy ra khi nào.

Từ đó tìm được tọa độ điểm A thỏa mãn và tính tích các tung độ.

Giải chi tiết

Hàm số $y = \dfrac{2x - 1}{x - 1} = 2 + \dfrac{1}{x - 1}$ có tập xác định $D = {\mathbb{R}} \smallsetminus \left\{ 1 \right\}$.

Đạo hàm $y' = \dfrac{- 1}{{(x - 1)}^{2}}$.

Đồ thị $(C)$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = 1$ và tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 2$.

Gọi điểm $A(x_{0},\dfrac{2x_{0} - 1}{x_{0} - 1}) \in (C)$ (với $x_{0} \neq 1$).

Phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại $A$ là đường thẳng ($\Delta$):

$y = \dfrac{- 1}{{(x_{0} - 1)}^{2}}(x - x_{0}) + \dfrac{2x_{0} - 1}{x_{0} - 1}$.

Gọi $H$ là giao điểm của ($\Delta$) với tiệm cận đứng $x = 1$. Thay $x = 1$ vào ($\Delta$):

$y_{H} = \dfrac{- 1}{{(x_{0} - 1)}^{2}}(1 - x_{0}) + \dfrac{2x_{0} - 1}{x_{0} - 1} = \dfrac{1}{x_{0} - 1} + \dfrac{2x_{0} - 1}{x_{0} - 1} = \dfrac{2x_{0}}{x_{0} - 1}$.

Suy ra $H(1,\dfrac{2x_{0}}{x_{0} - 1})$.

Gọi $K$ là giao điểm của ($\Delta$) với tiệm cận ngang $y = 2$. Thay $y = 2$ vào ($\Delta$):

$2 = \dfrac{- 1}{{(x_{0} - 1)}^{2}}(x_{K} - x_{0}) + \dfrac{2x_{0} - 1}{x_{0} - 1}$

$\left. \Leftrightarrow 2 - \dfrac{2x_{0} - 1}{x_{0} - 1} = \dfrac{- (x_{K} - x_{0})}{{(x_{0} - 1)}^{2}} \right.$

$\left. \Leftrightarrow\dfrac{- 1}{x_{0} - 1} = \dfrac{- (x_{K} - x_{0})}{{(x_{0} - 1)}^{2}} \right.$

$\left. \Leftrightarrow x_{0} - 1 = x_{K} - x_{0}\Leftrightarrow x_{K} = 2x_{0} - 1 \right.$.

Suy ra $K(2x_{0} - 1,2)$.

Độ dài đoạn thẳng HK bình phương là:

$HK^{2} = {(2x_{0} - 1 - 1)}^{2} + {(2 - \dfrac{2x_{0}}{x_{0} - 1})}^{2}$

$= {(2x_{0} - 2)}^{2} + {(\dfrac{- 2}{x_{0} - 1})}^{2}$

$= 4{(x_{0} - 1)}^{2} + \dfrac{4}{{(x_{0} - 1)}^{2}}$.

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương, ta có:

$HK^{2} \geq 2\sqrt{4{(x_{0} - 1)}^{2} \cdot \dfrac{4}{{(x_{0} - 1)}^{2}}} = 2\sqrt{16} = 8$.

Suy ra $HK \geq 2\sqrt{2}$. Đoạn HK đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi:

$\left. 4{(x_{0} - 1)}^{2} = \dfrac{4}{{(x_{0} - 1)}^{2}}\Leftrightarrow{(x_{0} - 1)}^{4} = 1 \right.$

$\left. \Leftrightarrow{(x_{0} - 1)}^{2} = 1\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x_{0} - 1 = 1} \\ {x_{0} - 1 = - 1} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x_{0} = 2} \\ {x_{0} = 0} \end{array} \right. \right.$.

Với $\left. x_{0} = 2\Rightarrow y_{0} = \dfrac{2(2) - 1}{2 - 1} = 3 \right.$.

Với $\left. x_{0} = 0\Rightarrow y_{0} = \dfrac{2(0) - 1}{0 - 1} = 1 \right.$.

Vậy các giá trị tung độ của điểm $A$ thỏa mãn là $3$ và $1$. Tích của chúng là $3 \cdot 1 = 3$.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.