Biết $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{\sqrt{x^{2} + x + 2} - \sqrt[3]{7x + 1}}{\sqrt{2}(x - 1)} =

Câu hỏi số 974715:

Vận dụng

Biết $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{\sqrt{x^{2} + x + 2} - \sqrt[3]{7x + 1}}{\sqrt{2}(x - 1)} = \dfrac{\sqrt{a}}{b}$, với $a,b \in {\mathbb{N}}^{*},b < 20$. Tính giá trị của biểu thức $b - 2a$.

A. 12.

B. 8.

C. 2.

D. 4.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:974715

Phương pháp giải

Sử dụng kỹ thuật thêm bớt hằng số 2 vào tử số để tách thành hai giới hạn cơ bản. Nhân lượng liên hợp của căn bậc hai và căn bậc ba tương ứng để khử dạng vô định 0/0.

Giải chi tiết

Ta có giới hạn: $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{\sqrt{x^{2} + x + 2} - \sqrt[3]{7x + 1}}{\sqrt{2}(x - 1)} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{(\sqrt{x^{2} + x + 2} - 2) - (\sqrt[3]{7x + 1} - 2)}{x - 1}$

$= \dfrac{1}{\sqrt{2}}\left\lbrack {\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{\sqrt{x^{2} + x + 2} - 2}{x - 1} - \lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{\sqrt[3]{7x + 1} - 2}{x - 1}} \right\rbrack$

Xét giới hạn thứ nhất:

$\begin{array}{l} {\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{\sqrt{x^{2} + x + 2} - 2}{x - 1}} \\ {= \lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{x^{2} + x - 2}{(x - 1)(\sqrt{x^{2} + x + 2} + 2)}} \\ {= \lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{(x - 1)(x + 2)}{(x - 1)(\sqrt{x^{2} + x + 2} + 2)}} \\ {= \lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{x + 2}{\sqrt{x^{2} + x + 2} + 2} = \dfrac{3}{4}} \end{array}$

Xét giới hạn thứ hai:

$\begin{array}{l} {\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{\sqrt[3]{7x + 1} - 2}{x - 1}} \\ {= \lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{7x - 7}{(x - 1)({(\sqrt[3]{7x + 1})}^{2} + 2\sqrt[3]{7x + 1} + 4)}} \\ {= \lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{7(x - 1)}{(x - 1)({(\sqrt[3]{7x + 1})}^{2} + 2\sqrt[3]{7x + 1} + 4)}} \\ {= \lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{7}{{(\sqrt[3]{7x + 1})}^{2} + 2\sqrt[3]{7x + 1} + 4} = \dfrac{7}{12}} \end{array}$

Giới hạn cần tìm là: $\dfrac{1}{\sqrt{2}}(\dfrac{3}{4} - \dfrac{7}{12}) = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{6\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{12}$

Theo giả thiết kết quả là $\dfrac{\sqrt{a}}{b}$, suy ra $\dfrac{\sqrt{a}}{b} = \dfrac{\sqrt{2}}{12}$.

Do $a,b \in {\mathbb{N}}^{*}$ và $b < 20$, ta chọn $a = 2$ và $b = 12$ (thỏa mãn điều kiện).

Giá trị của biểu thức là $b - 2a = 12 - 2(2) = 8$.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.