Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu sauCho hàm số $y = 2x^{3} - 3mx^{2} + (m - 1)x + 1$

Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu sau

Cho hàm số $y = 2x^{3} - 3mx^{2} + (m - 1)x + 1$ có đồ thị $(C)$, với $m$ là tham số.

Trả lời cho các câu 1, 2, 3 dưới đây:

Câu hỏi số 1:
Vận dụng

Khi $m = 1$, đường thẳng qua hai điểm cực trị của $(C)$ có phương trình là

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải
Câu hỏi:974734
Phương pháp giải

Thay $m = 1$ vào hàm số. Tìm tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó, hoặc thực hiện phép chia đa thức $y$ cho y' để lấy phần dư chính là phương trình đường thẳng đi qua cực trị.

Giải chi tiết

Khi $m = 1$, hàm số trở thành $y = 2x^{3} - 3x^{2} + 1$.

Ta có $y' = 6x^{2} - 6x$.

Cho $\left. y' = 0\Leftrightarrow 6x^{2} - 6x = 0\Leftrightarrow x = 0 \right.$ hoặc $x = 1$.

Với $\left. x = 0\Rightarrow y = 1 \right.$, ta được điểm $A(0;1)$.

Với $\left. x = 1\Rightarrow y = 0 \right.$, ta được điểm $B(1;0)$.

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $A(0;1)$ và $B(1;0)$ là:

$\left. \dfrac{x - 0}{1 - 0} = \dfrac{y - 1}{0 - 1}\Leftrightarrow - x = y - 1\Leftrightarrow x + y - 1 = 0 \right.$.

Đáp án cần chọn là: B

Câu hỏi số 2:
Vận dụng

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(1; + \infty)$ khi và chỉ khi

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải
Câu hỏi:974735
Phương pháp giải

Tính đạo hàm y'. Để hàm số đồng biến trên $(1; + \infty)$ thì $y' \geq 0,\forall x \in (1; + \infty)$. Sử dụng định lí dấu của tam thức bậc hai hoặc phương pháp cô lập tham số $m$.

Giải chi tiết

Ta có $y' = 6x^{2} - 6mx + m - 1$.

Để hàm số đồng biến trên khoảng $(1; + \infty)$ thì $y' \geq 0,\forall x \in (1; + \infty)$ (dấu "=" xảy ra tại hữu hạn điểm).

Tức là $6x^{2} - 6mx + m - 1 \geq 0,\forall x \in (1; + \infty)$.

Xét tam thức bậc hai $g(x) = 6x^{2} - 6mx + m - 1$.

Ta có $\Delta' = 9m^{2} - 6(m - 1) = 9m^{2} - 6m + 6 = {(3m - 1)}^{2} + 5 > 0,\forall m$.

Do đó phương trình $y' = 0$ luôn có hai nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$ (giả sử $x_{1} < x_{2}$).

Để $y' \geq 0,\forall x \in (1; + \infty)$ thì $1$ phải nằm ngoài hoặc bằng nghiệm lớn nhất, tức là $x_{1} < x_{2} \leq 1$.

Điều này tương đương với:

$\left. \left\{ \begin{array}{l} {(x_{1} - 1) + (x_{2} - 1) < 0} \\ {(x_{1} - 1)(x_{2} - 1) \geq 0} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {x_{1} + x_{2} - 2 < 0} \\ {x_{1}x_{2} - (x_{1} + x_{2}) + 1 \geq 0} \end{array} \right. \right.$

Theo định lí Vi-ét, ta có $x_{1} + x_{2} = m$ và $x_{1}x_{2} = \dfrac{m - 1}{6}$.

Thay vào hệ điều kiện, ta được:

$\left. \left\{ \begin{array}{l} {m - 2 < 0} \\ {\dfrac{m - 1}{6} - m + 1 \geq 0} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {m < 2} \\ {m - 1 - 6m + 6 \geq 0} \end{array} \right. \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {m < 2} \\ {- 5m + 5 \geq 0} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {m < 2} \\ {m \leq 1} \end{array} \right.\Leftrightarrow m \leq 1 \right.$.

Vậy hàm số đồng biến trên $(1; + \infty)$ khi $m \leq 1$.

Đáp án cần chọn là: A

Câu hỏi số 3:
Vận dụng

Số giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $\lbrack - 5;5\rbrack$ để đường thẳng $y = - x + 1$ cắt đồ thị $(C)$ tại ba điểm phân biệt là

Đáp án đúng là: C

Xem lời giải
Câu hỏi:974736
Phương pháp giải

Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm. Biến đổi để có phương trình tích. Điều kiện để cắt tại ba điểm phân biệt là phương trình hoành độ giao điểm có ba nghiệm phân biệt.

Giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm của $(C)$ và đường thẳng $y = - x + 1$ là:

$2x^{3} - 3mx^{2} + (m - 1)x + 1 = - x + 1$

$\left. \Leftrightarrow 2x^{3} - 3mx^{2} + mx = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow x(2x^{2} - 3mx + m) = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = 0} \\ {2x^{2} - 3mx + m = 0\quad(1)} \end{array} \right. \right.$

Để đường thẳng cắt $(C)$ tại ba điểm phân biệt thì phương trình $(1)$ phải có hai nghiệm phân biệt và khác $0$.

Điều này tương đương với:

$\left. \left\{ \begin{array}{l} {\Delta_{(1)} > 0} \\ {2{(0)}^{2} - 3m(0) + m \neq 0} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {{( - 3m)}^{2} - 4.2.m > 0} \\ {m \neq 0} \end{array} \right. \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {9m^{2} - 8m > 0} \\ {m \neq 0} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {m(9m - 8) > 0} \\ {m \neq 0} \end{array} \right. \right.$

$\left. \Leftrightarrow m < 0 \right.$ hoặc $m > \dfrac{8}{9}$.

Vì $m \in \lbrack - 5;5\rbrack$ và $m \in {\mathbb{Z}}$ nên $m \in \left\{ - 5; - 4; - 3; - 2; - 1;1;2;3;4;5 \right\}$.

Vậy có $5 + 5 = 10$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: C

Quảng cáo

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn

Khảo sát học từ vựng tiếng Anh

Chỉ mất 3 phút để chia sẻ trải nghiệm học từ vựng của bạn. Nhận quyền trải nghiệm ứng dụng miễn phí trước khi ra mắt.

Tham gia khảo sát →