Biết $x_{1},x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình ${(3 + \sqrt{5})}^{x} + {(3 - \sqrt{5})}^{x} = 3.2^{x}$.

Câu hỏi số 974789:

Vận dụng

Biết $x_{1},x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình ${(3 + \sqrt{5})}^{x} + {(3 - \sqrt{5})}^{x} = 3.2^{x}$. Giá trị của biểu thức $T = x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ bằng

A. 9.

B. 1.

C. 2.

D. 13.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:974789

Phương pháp giải

Chia cả hai vế của phương trình cho $2^{x}$.

Nhận xét tích hai cơ số mới bằng 1, đặt ẩn phụ để đưa về phương trình bậc hai.

Tìm các nghiệm $x_{1},x_{2}$ rồi tính giá trị biểu thức $T$.

Giải chi tiết

Phương trình ban đầu: ${(3 + \sqrt{5})}^{x} + {(3 - \sqrt{5})}^{x} = 3 \cdot 2^{x}$.

Chia cả hai vế cho $2^{x}$ (do $2^{x} > 0$), ta được:

$\left( \dfrac{3 + \sqrt{5}}{2} \right)^{x} + \left( \dfrac{3 - \sqrt{5}}{2} \right)^{x} = 3$

Nhận xét thấy $\dfrac{3 + \sqrt{5}}{2} \cdot \dfrac{3 - \sqrt{5}}{2} = \dfrac{9 - 5}{4} = 1$.

Do đó, nếu đặt $t = \left( \dfrac{3 + \sqrt{5}}{2} \right)^{x}$ (với $t > 0$) thì $\left( \dfrac{3 - \sqrt{5}}{2} \right)^{x} = \dfrac{1}{t}$.

Phương trình trở thành:

$t + \dfrac{1}{t} = 3$

$\left. \Leftrightarrow t^{2} - 3t + 1 = 0 \right.$

Giải phương trình bậc hai, ta được hai nghiệm:

$t_{1} = \dfrac{3 + \sqrt{5}}{2}$ và $t_{2} = \dfrac{3 - \sqrt{5}}{2}$ (đều lớn hơn $0$).

Với $\left. t = \dfrac{3 + \sqrt{5}}{2}\Rightarrow\left( \dfrac{3 + \sqrt{5}}{2} \right)^{x} = \dfrac{3 + \sqrt{5}}{2}\Leftrightarrow x = 1 \right.$.

Với $\left. t = \dfrac{3 - \sqrt{5}}{2}\Rightarrow\left( \dfrac{3 + \sqrt{5}}{2} \right)^{x} = \dfrac{3 - \sqrt{5}}{2} = \left( \dfrac{3 + \sqrt{5}}{2} \right)^{- 1}\Leftrightarrow x = - 1 \right.$.

Vậy phương trình có hai nghiệm là $x_{1} = 1$ và $x_{2} = - 1$.

Giá trị của biểu thức $T = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 1^{2} + {( - 1)}^{2} = 2$.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.