Cho $\tan\alpha = 2$. Biết $T = \dfrac{\sin\alpha}{\sin^{3}\alpha + \sqrt{3}\cos^{3}\alpha} = \dfrac{a +

Câu hỏi số 974794:

Vận dụng

Cho $\tan\alpha = 2$. Biết $T = \dfrac{\sin\alpha}{\sin^{3}\alpha + \sqrt{3}\cos^{3}\alpha} = \dfrac{a + b\sqrt{3}}{61}$, trong đó a, b là các số nguyên. Tính giá trị của biểu thức $a - b$.

A. 2.

B. 4.

C. 90.

D. 70.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:974794

Phương pháp giải

Chia cả tử và mẫu của biểu thức T cho $\cos^{3}\alpha$ (vì $\tan\alpha = 2$ nên $\cos\alpha \neq 0$) để đưa biểu thức về dạng chỉ chứa $\tan\alpha$.

Sử dụng hằng đẳng thức $\dfrac{1}{\cos^{2}\alpha} = 1 + \tan^{2}\alpha$.

Thay $\tan\alpha = 2$ vào và trục căn thức ở mẫu để đồng nhất hệ số tìm a, b.

Giải chi tiết

Chia cả tử và mẫu của biểu thức T cho $\cos^{3}\alpha$, ta được:

$T = \dfrac{\dfrac{\sin\alpha}{\cos^{3}\alpha}}{\dfrac{\sin^{3}\alpha}{\cos^{3}\alpha} + \sqrt{3}} = \dfrac{\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \dfrac{1}{\cos^{2}\alpha}}{\tan^{3}\alpha + \sqrt{3}} = \dfrac{\tan\alpha \cdot (1 + \tan^{2}\alpha)}{\tan^{3}\alpha + \sqrt{3}}$

Thay $\tan\alpha = 2$ vào biểu thức:

$T = \dfrac{2 \cdot (1 + 2^{2})}{2^{3} + \sqrt{3}} = \dfrac{2 \cdot 5}{8 + \sqrt{3}} = \dfrac{10}{8 + \sqrt{3}}$

Trục căn thức ở mẫu bằng cách nhân cả tử và mẫu với lượng liên hợp $(8 - \sqrt{3})$:

$T = \dfrac{10(8 - \sqrt{3})}{(8 + \sqrt{3})(8 - \sqrt{3})} = \dfrac{80 - 10\sqrt{3}}{64 - 3} = \dfrac{80 - 10\sqrt{3}}{61}$

So sánh với giả thiết $T = \dfrac{a + b\sqrt{3}}{61}$, ta thấy $a = 80$ và $b = - 10$.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.