Đồ thị hàm số $y = \dfrac{5x + 1 - \sqrt{x + 1}}{x^{2} + 2x}$ có tất cả bao nhiêu đường tiệm

Câu hỏi số 974795:

Vận dụng

Đồ thị hàm số $y = \dfrac{5x + 1 - \sqrt{x + 1}}{x^{2} + 2x}$ có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 0.

B. 3.

C. 1.

D. 2.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:974795

Phương pháp giải

Tìm tập xác định của hàm số.

Tìm tiệm cận đứng bằng cách xét nghiệm của mẫu số và kiểm tra giới hạn của hàm số khi x tiến tới các nghiệm đó (loại bỏ các nghiệm không thuộc hoặc nằm ngoài điều kiện xác định).

Tìm tiệm cận ngang bằng cách xét giới hạn của hàm số khi x \to \pm\infty.

Giải chi tiết

Điều kiện xác định:

$\left. \left\{ \begin{array}{l} {x + 1 \geq 0} \\ {x^{2} + 2x \neq 0} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {x \geq - 1} \\ {x \neq 0} \\ {x \neq - 2} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {x \geq - 1} \\ {x \neq 0} \end{array} \right. \right.$

Tập xác định: $D = \lbrack - 1; + \infty)\backslash\left\{ 0 \right\}$.

Xét tiệm cận đứng:

Nghiệm của mẫu số là $x = 0$ và $x = - 2$.

Vì $x = - 2$ không thỏa mãn điều kiện $x \geq - 1$ nên ta chỉ xét $x = 0$.

Tính giới hạn khi $\left. x\rightarrow 0 \right.$:

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{5x + 1 - \sqrt{x + 1}}{x^{2} + 2x}$ (Dạng vô định $\dfrac{0}{0}$)

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{{(5x + 1)}^{2} - (x + 1)}{(x^{2} + 2x)(5x + 1 + \sqrt{x + 1})} = \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{25x^{2} + 10x + 1 - x - 1}{x(x + 2)(5x + 1 + \sqrt{x + 1})}$

$= \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{25x^{2} + 9x}{x(x + 2)(5x + 1 + \sqrt{x + 1})} = \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{x(25x + 9)}{x(x + 2)(5x + 1 + \sqrt{x + 1})}$

$= \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{25x + 9}{(x + 2)(5x + 1 + \sqrt{x + 1})} = \dfrac{9}{4}$

Vì giới hạn là một số hữu hạn nên $x = 0$ KHÔNG phải là đường tiệm cận đứng.

Tại $x = - 1$ (điểm biên của TXĐ), ta thấy mẫu số khác $0$ nên hàm số xác định và có giới hạn hữu hạn, không có tiệm cận đứng.

Xét tiệm cận ngang:

Tính giới hạn khi $\left. x\rightarrow + \infty \right.$:

$\lim\limits_{x\rightarrow + \infty}\dfrac{5x + 1 - \sqrt{x + 1}}{x^{2} + 2x} = \lim\limits_{x\rightarrow + \infty}\dfrac{\dfrac{5}{x} + \dfrac{1}{x^{2}} - \sqrt{\dfrac{1}{x^{3}} + \dfrac{1}{x^{4}}}}{1 + \dfrac{2}{x}} = \dfrac{0}{1} = 0$.

Vậy đường thẳng $y = 0$ là đường tiệm cận ngang duy nhất của đồ thị hàm số.

Kết luận: Đồ thị hàm số có đúng 1 đường tiệm cận.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.