Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn [1;20] sao cho ứng với mỗi $m$, hàm số

Câu hỏi số 974796:

Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn [1;20] sao cho ứng với mỗi $m$, hàm số $f(x) = \dfrac{- x^{2} + 3x - m - 1}{3x - m}$ đồng biến trên khoảng $(1;3)$?

A. 17.

B. 14.

C. 15.

D. 12.

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:974796

Phương pháp giải

Hàm số phân thức bậc hai trên bậc nhất $y = \dfrac{u(x)}{v(x)}$ đồng biến trên khoảng $(a;b)$ khi và chỉ khi thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:

Đạo hàm $y' \geq 0$ với mọi $x \in (a;b)$ (dấu "=" xảy ra tại hữu hạn điểm).

Nghiệm của mẫu số không thuộc khoảng $(a;b)$.

Giải chi tiết

Tập xác định: $D = {\mathbb{R}}\backslash\left\{ \dfrac{m}{3} \right\}$.

Ta có đạo hàm của hàm số:

$f'(x) = \dfrac{( - 2x + 3)(3x - m) - 3( - x^{2} + 3x - m - 1)}{{(3x - m)}^{2}}$

$f'(x) = \dfrac{- 6x^{2} + 2mx + 9x - 3m + 3x^{2} - 9x + 3m + 3}{{(3x - m)}^{2}}$

$f'(x) = \dfrac{- 3x^{2} + 2mx + 3}{{(3x - m)}^{2}}$

Để hàm số đồng biến trên khoảng $(1;3)$ thì: $\left\{ \begin{array}{l} {f'(x) \geq 0,\forall x \in (1;3)} \\ {\dfrac{m}{3} \notin (1;3)} \end{array} \right.$

Điều kiện 1: $f'(x) \geq 0,\forall x \in (1;3)$

$\left. \Leftrightarrow - 3x^{2} + 2mx + 3 \geq 0,\forall x \in (1;3) \right.$

$\left. \Leftrightarrow 2mx \geq 3x^{2} - 3,\forall x \in (1;3) \right.$

Vì $x \in (1;3)$ nên $x > 0$, chia cả hai vế cho $x$ ta được:

$\left. \Leftrightarrow 2m \geq 3x - \dfrac{3}{x},\forall x \in (1;3) \right.$

Xét hàm số $g(x) = 3x - \dfrac{3}{x}$ trên khoảng $(1;3)$:

$g'(x) = 3 + \dfrac{3}{x^{2}} > 0,\forall x \in (1;3)$.

Suy ra hàm số $g(x)$ đồng biến trên khoảng $(1;3)$.

Do đó, bất phương trình $2m \geq g(x)$ đúng với mọi $x \in (1;3)$ khi và chỉ khi:

$2m \geq \lim\limits_{x\rightarrow 3^{-}}g(x) = g(3) = 3(3) - \dfrac{3}{3} = 8$

$\left. \Leftrightarrow 2m \geq 8\Leftrightarrow m \geq 4 \right.$.

Điều kiện 2: Nghiệm của mẫu không thuộc $(1;3)$

$\left. \dfrac{m}{3} \notin (1;3)\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {\dfrac{m}{3} \leq 1} \\ {\dfrac{m}{3} \geq 3} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {m \leq 3} \\ {m \geq 9} \end{array} \right. \right.$

Kết hợp hai điều kiện trên, ta có $m \geq 9$.

Vì $m$ là số nguyên và $m \in \lbrack 1;20\rbrack$ nên các giá trị của $m$ là: $m \in \left\{ 9;10;11;...;20 \right\}$.

Số giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn là: $20 - 9 + 1 = 12$ (giá trị).

Đáp án cần chọn là:

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.