Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu sau Cho các cấp số cộng $(u_{n}):\left\{

Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu sau

Cho các cấp số cộng $(u_{n}):\left\{ \begin{array}{l} {u_{1} = 4} \\ {u_{n + 1} = u_{n} + 3} \end{array} \right.$ và $(v_{n}):\left\{ \begin{array}{l} {v_{1} = 1} \\ {v_{n + 1} = v_{n} + 5} \end{array} \right.$.

Trả lời cho các câu 1, 2 dưới đây:

Câu hỏi số 1:
Thông hiểu

Tính $\lim\dfrac{u_{n}}{v_{n}}$.

Đáp án đúng là: C

Xem lời giải
Câu hỏi:974799
Phương pháp giải

Xác định công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng theo công thức $u_{n} = u_{1} + (n - 1)d$.

Tính giới hạn của dãy số $\lim\dfrac{u_{n}}{v_{n}}$ bằng cách chia cả tử và mẫu cho bậc cao nhất của $n$.

Giải chi tiết

Từ giả thiết, ta có:

Cấp số cộng $(u_{n})$ có số hạng đầu $u_{1} = 4$ và công sai $d_{1} = 3$.

Số hạng tổng quát: $u_{n} = 4 + (n - 1)3 = 3n + 1$.

Cấp số cộng $(v_{n})$ có số hạng đầu $v_{1} = 1$ và công sai $d_{2} = 5$.

Số hạng tổng quát: $v_{n} = 1 + (n - 1)5 = 5n - 4$.

Khi đó ta cần tính giới hạn:

$\lim\dfrac{u_{n}}{v_{n}} = \lim\dfrac{3n + 1}{5n - 4} = \lim\dfrac{3 + \dfrac{1}{n}}{5 - \dfrac{4}{n}}$

Vì $\lim\dfrac{1}{n} = 0$ và $\lim\dfrac{4}{n} = 0$ nên giới hạn bằng $\dfrac{3}{5}$.

Đáp án cần chọn là: C

Câu hỏi số 2:
Vận dụng

Có bao nhiêu số tự nhiên bé hơn 2025 sao cho số đó vừa là số hạng của $(u_{n})$, vừa là số hạng của $(v_{n})$?

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải
Câu hỏi:974800
Phương pháp giải

Viết công thức số hạng tổng quát của hai dãy số phụ thuộc vào các chỉ số n, m.

Cho hai số hạng tổng quát bằng nhau để tìm mối liên hệ giữa các chỉ số.

Tìm công thức chung của các số hạng thuộc cả hai dãy.

Sử dụng điều kiện số hạng bé hơn 2025 để đếm số lượng các giá trị thỏa mãn.

Giải chi tiết

Ta có $u_{n} = 3n + 1$ ($n \in {\mathbb{N}}^{*}$) và $v_{m} = 5m - 4$ ($m \in {\mathbb{N}}^{*}$).

Giả sử M là số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán, tức là M là số hạng chung của hai dãy số.

Khi đó tồn tại các chỉ số $n,m \in {\mathbb{N}}^{*}$ sao cho:

$M = 3n + 1 = 5m - 4$

$\left. \Leftrightarrow 3n = 5m - 5 \right.$

$\left. \Leftrightarrow 3n = 5(m - 1) \right.$

Vì 3 và 5 là hai số nguyên tố cùng nhau nên $m - 1$ phải chia hết cho 3.

Đặt $\left. m - 1 = 3k\Leftrightarrow m = 3k + 1 \right.$ ($k \in {\mathbb{Z}}$).

Do $m \geq 1$ nên $\left. 3k + 1 \geq 1\Leftrightarrow k \geq 0 \right.$.

Tuy nhiên, nếu xét $k = 0$ thì $\left. m = 1\Rightarrow v_{1} = 1 \right.$. Khi đó $\left. 3n + 1 = 1\Leftrightarrow n = 0 \right.$. Giá trị này không thỏa mãn điều kiện $n \in {\mathbb{N}}^{*}$ (vì chỉ số của dãy số phải bắt đầu từ 1).

Do đó, ta phải có $k \geq 1$.

Thay $m = 3k + 1$ vào công thức của $v_{m}$, ta được các số hạng chung của hai dãy có dạng:

$M = 5(3k + 1) - 4 = 15k + 1$ (với $k \in {\mathbb{N}}^{*}$).

Theo giả thiết, số tự nhiên này bé hơn 2025 nên:

$15k + 1 < 2025$

$\left. \Leftrightarrow 15k < 2024 \right.$

$\left. \Leftrightarrow k < \dfrac{2024}{15} \right.$

Ta có $\dfrac{2024}{15} \approx 134,93$.

Vì $k \in {\mathbb{N}}^{*}$ nên $k \in \left\{ 1;2;3;...;134 \right\}$.

Vậy có 134 giá trị của $k$, tương ứng với 134 số tự nhiên vừa là số hạng của dãy $(u_{n})$, vừa là số hạng của dãy $(v_{n})$.

Đáp án cần chọn là: A

Quảng cáo

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn

Khảo sát học từ vựng tiếng Anh

Chỉ mất 3 phút để chia sẻ trải nghiệm học từ vựng của bạn. Nhận quyền trải nghiệm ứng dụng miễn phí trước khi ra mắt.

Tham gia khảo sát →