Cho hàm số $f(x) = e^{\sqrt{1 + \dfrac{1}{x^{2}} + \dfrac{1}{{(x + 1)}^{2}}}}$. Biết

Câu hỏi số 975211:

Vận dụng

Cho hàm số $f(x) = e^{\sqrt{1 + \dfrac{1}{x^{2}} + \dfrac{1}{{(x + 1)}^{2}}}}$. Biết $f(1).f(2).f(3)...f(2024)f(2025) = e^{\dfrac{m}{n}}$, với $\dfrac{m}{n}$ là phân số tối giản ($m,n \in {\mathbb{N}}^{*}$). Tính giá trị của biểu thức $T = m - n^{2} + 2025$.

A. 2027.

B. 2026.

C. 2025.

D. 2024.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:975211

Phương pháp giải

Biến đổi biểu thức dưới dấu căn $\sqrt{1 + \dfrac{1}{x^{2}} + \dfrac{1}{{(x + 1)}^{2}}}$ thành dạng bình phương của một tổng dựa vào hằng đẳng thức đại số.

Viết lại biểu thức hàm số $f(x)$ thành lũy thừa cơ số $e$.

Sử dụng tính chất nhân các lũy thừa cùng cơ số $e^{A} \cdot e^{B} = e^{A + B}$ để thu gọn tích $f(1).f(2)...f(2025)$.

Triệt tiêu các phần tử đối nhau trong tổng ở phần số mũ để tìm ra phân số $\dfrac{m}{n}$.

Đối chiếu điều kiện phân số tối giản để tìm m, n và tính T.

Giải chi tiết

Xét biểu thức dưới dấu căn với $x > 0$:

Ta có hằng đẳng thức: $\left( {1 + \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x + 1}} \right)^{2} = 1 + \dfrac{1}{x^{2}} + \dfrac{1}{{(x + 1)}^{2}} + 2\left( {\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x + 1} - \dfrac{1}{x(x + 1)}} \right)$

$= 1 + \dfrac{1}{x^{2}} + \dfrac{1}{{(x + 1)}^{2}} + 2\left( \dfrac{x + 1 - x - 1}{x(x + 1)} \right)$

$= 1 + \dfrac{1}{x^{2}} + \dfrac{1}{{(x + 1)}^{2}}$.

Vì $x > 0$ nên $\left. x + 1 > x > 0\Rightarrow\dfrac{1}{x} > \dfrac{1}{x + 1}\Rightarrow 1 + \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x + 1} > 0 \right.$.

Do đó $\sqrt{1 + \dfrac{1}{x^{2}} + \dfrac{1}{{(x + 1)}^{2}}} = \sqrt{\left( {1 + \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x + 1}} \right)^{2}} = 1 + \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x + 1}$.

Suy ra hàm số có thể viết lại thành: $f(x) = e^{1 + \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x + 1}}$.

Xét tích các hàm số theo đề bài:

$P = f(1).f(2).f(3)...f(2024)f(2025)$

$= e^{1 + \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2}} \cdot e^{1 + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}} \cdot e^{1 + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}}\ldots e^{1 + \dfrac{1}{2025} - \dfrac{1}{2026}}$

$= e^{{({1 + \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2}})} + {({1 + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}})} + {({1 + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}})} + \ldots + {({1 + \dfrac{1}{2025} - \dfrac{1}{2026}})}}$.

Số mũ của $e$ là một tổng gồm 2025 nhóm, ta tách riêng phần số nguyên và phần phân số:

$S = \underset{2025\text{~sô~}1}{\underset{︸}{1 + 1 + \ldots + 1}} + \left( {\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{2025} - \dfrac{1}{2026}} \right)$

$S = 2025 + 1 - \dfrac{1}{2026} = 2026 - \dfrac{1}{2026} = \dfrac{2026^{2} - 1}{2026}$.

Vậy $P = e^{\dfrac{2026^{2} - 1}{2026}}$.

Theo giả thiết $P = e^{\dfrac{m}{n}}$ với $\dfrac{m}{n}$ là phân số tối giản.

Xét phân số $\dfrac{2026^{2} - 1}{2026}$, gọi $d$ là ước chung lớn nhất của $2026^{2} - 1$ và 2026.

Vì $d$ là ước của 2026 nên $d$ cũng là ước của $2026^{2}$.

Lại có $d$ là ước của $2026^{2} - 1$, suy ra $d$ phải là ước của hiệu $2026^{2} - (2026^{2} - 1) = 1$.

Do đó $d = 1$, chứng tỏ phân số $\dfrac{2026^{2} - 1}{2026}$ đã là phân số tối giản.

Đồng nhất các hệ số, ta được $m = 2026^{2} - 1$ và $n = 2026$.

Tính giá trị của biểu thức $T$:

$T = m - n^{2} + 2025$

$T = (2026^{2} - 1) - 2026^{2} + 2025$

$T = - 1 + 2025 = 2024$.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.