Một chiếc đồng hồ cát gồm hai phần đối xứng nhau qua mặt phẳng nằm ngang và

Câu hỏi số 975212:

Vận dụng

Một chiếc đồng hồ cát gồm hai phần đối xứng nhau qua mặt phẳng nằm ngang và đặt trong một hình trụ. Thiết diện thẳng đứng qua trục của nó là hai parabol chung đỉnh và đối xứng nhau qua mặt phẳng nằm ngang. Ban đầu lượng cát dồn hết ở phần trên của đồng hồ thì chiều cao của mực cát bằng $\dfrac{2}{3}$ chiều cao của bên đó (tham khảo hình vẽ). Cát chảy từ trên xuống dưới với tốc độ $v(t) = 0,2t + 13$ (cm${}^{3}$/phút). Khi chiều cao của cát còn 4 cm thì bề mặt trên cùng của cát tạo thành một đường tròn có chu vi bằng $8\pi$ cm. Biết sau 20 phút thì cát chảy hết xuống phần bên dưới của đồng hồ. Hỏi chiều cao của khối trụ bên ngoài bằng bao nhiêu centimet (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?

A. 10,4

B. 6,9

C. 20,7

D. 13,8

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:975212

Phương pháp giải

Gắn hệ trục tọa độ Oxy để tìm phương trình của đường parabol tạo nên thiết diện đồng hồ cát.

Ứng dụng tích phân để tính tổng thể tích cát chảy trong 20 phút.

Sử dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay (quay quanh trục tung) để thiết lập mối liên hệ giữa thể tích cát và chiều cao mực cát.

Từ chiều cao mực cát, suy ra chiều cao của một nửa đồng hồ, từ đó tính được tổng chiều cao của khối trụ bên ngoài.

Giải chi tiết

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho gốc tọa độ O trùng với đỉnh chung của hai parabol (điểm thắt lại của đồng hồ cát), trục Oy hướng lên trên dọc theo trục của hình trụ.

Khi đó, thiết diện của phần trên đồng hồ cát là một đường parabol có phương trình dạng $y = ax^{2}$, suy ra $x^{2} = ky$ (với $k = \dfrac{1}{a} > 0$).

Theo giả thiết, khi chiều cao của cát còn 4 cm (tức là tại tung độ $y = 4$) thì bề mặt cát là một hình tròn có chu vi $8\pi$ cm. Bán kính của đường tròn này là $x = r = \dfrac{8\pi}{2\pi} = 4$ cm.

Thay tọa độ điểm $(4;4)$ vào phương trình parabol, ta có: $\left. 4^{2} = k \cdot 4\Leftrightarrow k = 4 \right.$.

Vậy phương trình đường parabol là $x^{2} = 4y$.

Thể tích tổng cộng của lượng cát trong đồng hồ chính là lượng cát chảy xuống trong 20 phút:

$V = {\int_{0}^{20}v}(t)dt = {\int_{0}^{20}{(0,2t + 13)}}dt = 300\text{(cm}^{3}\text{)}$.

Gọi $h_{1}$ là chiều cao ban đầu của phần cát. Lượng cát này có hình dạng của một khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường $x = \sqrt{4y}$, trục tung Oy, $y = 0$ và $y = h_{1}$ xung quanh trục Oy.

Thể tích khối cát này là: $V = \pi{\int_{0}^{h_{1}}x^{2}}dy = \pi{\int_{0}^{h_{1}}4}ydy = \pi\left\lbrack {2y^{2}} \right\rbrack_{0}^{h_{1}} = 2\pi h_{1}^{2}$.

Ta có phương trình:

$\left. 2\pi h_{1}^{2} = 300\Leftrightarrow h_{1}^{2} = \dfrac{150}{\pi}\Leftrightarrow h_{1} = \sqrt{\dfrac{150}{\pi}}\text{(cm)} \right.$.

Gọi $h$ là chiều cao của nửa trên chiếc đồng hồ cát. Theo đề bài, chiều cao ban đầu của mực cát bằng $\dfrac{2}{3}$ chiều cao của bên đó nên:

$\left. h_{1} = \dfrac{2}{3}h\Rightarrow h = \dfrac{3}{2}h_{1} = \dfrac{3}{2}\sqrt{\dfrac{150}{\pi}}\text{(cm)} \right.$.

Vì đồng hồ cát gồm hai phần đối xứng nhau nên chiều cao của khối trụ bên ngoài (cũng là tổng chiều cao đồng hồ) là:

$H = 2h = 2 \cdot \dfrac{3}{2}\sqrt{\dfrac{150}{\pi}} = 3\sqrt{\dfrac{150}{\pi}} \approx 20,729\text{(cm)}$.

Làm tròn kết quả đến hàng phần mười, ta được 20,7 cm.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.