Cho phương trình $\cos 2x - 3\cos x + 2 = 0$. Số nghiệm thuộc khoảng $\left( {\dfrac{\pi}{2};4\pi} \right)$

Câu hỏi số 975216:

Vận dụng

Cho phương trình $\cos 2x - 3\cos x + 2 = 0$. Số nghiệm thuộc khoảng $\left( {\dfrac{\pi}{2};4\pi} \right)$ của phương trình đã cho là

A. 3.

B. 4.

C. 1.

D. 5.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:975216

Phương pháp giải

Sử dụng công thức nhân đôi $\cos 2x = 2\cos^{2}x - 1$ để đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai đối với $\cos x$.

Giải phương trình tìm $\cos x$, từ đó tìm các nghiệm x.

Kết hợp với điều kiện $x \in \left( {\dfrac{\pi}{2};4\pi} \right)$ để đếm số nghiệm thỏa mãn.

Giải chi tiết

Ta có: $\cos 2x - 3\cos x + 2 = 0$

$\left. \Leftrightarrow 2\cos^{2}x - 1 - 3\cos x + 2 = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow 2\cos^{2}x - 3\cos x + 1 = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {\cos x = 1} \\ {\cos x = \dfrac{1}{2}} \end{array} \right. \right.$

Trường hợp 1: $\left. \cos x = 1\Leftrightarrow x = k2\pi \right.$ ($k \in {\mathbb{Z}}$).

Vì $x \in \left( {\dfrac{\pi}{2};4\pi} \right)$ nên $\left. \dfrac{\pi}{2} < k2\pi < 4\pi\Leftrightarrow\dfrac{1}{4} < k < 2 \right.$.

Do $k \in {\mathbb{Z}}$ nên $k = 1$, suy ra $x = 2\pi$. (1 nghiệm)

Trường hợp 2: $\left. \cos x = \dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x = \pm \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \right.$ ($k \in {\mathbb{Z}}$).

Với $x = \dfrac{\pi}{3} + k2\pi$: $\left. \dfrac{\pi}{2} < \dfrac{\pi}{3} + k2\pi < 4\pi\Leftrightarrow\dfrac{1}{12} < k < \dfrac{11}{6} \right.$.

Do $k \in {\mathbb{Z}}$ nên $k = 1$, suy ra $x = \dfrac{7\pi}{3}$. (1 nghiệm)

Với $x = - \dfrac{\pi}{3} + k2\pi$: $\left. \dfrac{\pi}{2} < - \dfrac{\pi}{3} + k2\pi < 4\pi\Leftrightarrow\dfrac{5}{12} < k < \dfrac{13}{6} \right.$.

Do $k \in {\mathbb{Z}}$ nên $k \in \left\{ 1;2 \right\}$, suy ra $x = \dfrac{5\pi}{3}$ và $x = \dfrac{11\pi}{3}$. (2 nghiệm)

Tổng cộng phương trình có $1 + 1 + 2 = 4$ nghiệm thuộc khoảng đã cho.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.