Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình $(x + 1)(x - 3) + \sqrt{8 + 2x - x^{2}} = 2m$ có

Câu hỏi số 975218:

Vận dụng

Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình $(x + 1)(x - 3) + \sqrt{8 + 2x - x^{2}} = 2m$ có nghiệm là

A. 3.

B. 21.

C. 15.

D. 10.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:975218

Phương pháp giải

Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Đặt ẩn phụ $t = \sqrt{8 + 2x - x^{2}}$ ($t \geq 0$), tìm tập giá trị của $t$ dựa vào điều kiện của $x$.

Biểu diễn phương trình theo ẩn t, đưa về dạng $g(t) = 2m$.

Lập bảng biến thiên của hàm số $g(t)$ trên tập xác định của $t$ để tìm điều kiện của $m$ có nghiệm.

Giải chi tiết

Điều kiện: $\left. 8 + 2x - x^{2} \geq 0\Leftrightarrow - 2 \leq x \leq 4 \right.$.

Đặt $t = \sqrt{8 + 2x - x^{2}}$ ($t \geq 0$).

Ta có $t^{2} = - x^{2} + 2x + 8 = - {(x - 1)}^{2} + 9 \leq 9$.

Suy ra $0 \leq t \leq 3$. Tập giá trị của $t$ là [0; 3].

Mặt khác, $(x + 1)(x - 3) = x^{2} - 2x - 3 = - ( - x^{2} + 2x + 8) + 5 = - t^{2} + 5$.

Phương trình đã cho trở thành:

$\left. - t^{2} + 5 + t = 2m\Leftrightarrow - t^{2} + t + 5 = 2m \right.$.

Xét hàm số $g(t) = - t^{2} + t + 5$ trên đoạn [0; 3].

$g'(t) = - 2t + 1$. Cho $\left. g'(t) = 0\Leftrightarrow t = \dfrac{1}{2} \in \lbrack 0;3\rbrack \right.$.

Ta có: $g(0) = 5$; $g\left( \dfrac{1}{2} \right) = \dfrac{21}{4} = 5,25$; $g(3) = - 1$.

Suy ra $\min_{\lbrack 0;3\rbrack}g(t) = - 1$ và $\max_{\lbrack 0;3\rbrack}g(t) = 5,25$.

Để phương trình có nghiệm thì:

$\left. - 1 \leq 2m \leq 5,25\Leftrightarrow - 0,5 \leq m \leq 2,625 \right.$.

Vì $m \in {\mathbb{Z}}$ nên $m \in \left\{ 0;1;2 \right\}$.

Có 3 giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.