Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sqrt{2x + 1} - \sqrt{x + 5}}{x - 4} & {\text{khi}x \neq 4} \\ {a

Câu hỏi số 975219:

Thông hiểu

Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sqrt{2x + 1} - \sqrt{x + 5}}{x - 4} & {\text{khi}x \neq 4} \\ {a + 2} & {\text{khi}x = 4} \end{cases}$. Tìm $a$ để hàm số đã cho liên tục trên tập xác định của nó.

A. $- \dfrac{5}{6}$.

B. $\dfrac{1}{6}$.

C. $- \dfrac{11}{6}$.

D. $\dfrac{7}{6}$.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:975219

Phương pháp giải

Hàm số đã cho có tập xác định $D = \left\lbrack {- \dfrac{1}{2}; + \infty} \right)$ và liên tục trên các khoảng $\left\lbrack {- \dfrac{1}{2};4} \right)$ và $(4; + \infty)$.

Để hàm số liên tục trên tập xác định, nó cần liên tục tại điểm $x = 4$.

Điều kiện liên tục tại $x = 4$ là: $\lim\limits_{x\rightarrow 4}f(x) = f(4)$.

Tính giới hạn bằng cách nhân liên hợp.

Giải chi tiết

Ta có $f(4) = a + 2$.

Tính giới hạn của $f(x)$ khi $\left. x\rightarrow 4 \right.$:

$\lim\limits_{x\rightarrow 4}f(x) = \lim\limits_{x\rightarrow 4}\dfrac{\sqrt{2x + 1} - \sqrt{x + 5}}{x - 4}$

$= \lim\limits_{x\rightarrow 4}\dfrac{(2x + 1) - (x + 5)}{(x - 4)(\sqrt{2x + 1} + \sqrt{x + 5})}$

$= \lim\limits_{x\rightarrow 4}\dfrac{x - 4}{(x - 4)(\sqrt{2x + 1} + \sqrt{x + 5})}$

$= \lim\limits_{x\rightarrow 4}\dfrac{1}{\sqrt{2x + 1} + \sqrt{x + 5}}$

$= \dfrac{1}{\sqrt{2(4) + 1} + \sqrt{4 + 5}} = \dfrac{1}{3 + 3} = \dfrac{1}{6}$.

Để hàm số liên tục tại $x = 4$ thì:

$\left. \lim\limits_{x\rightarrow 4}f(x) = f(4)\Leftrightarrow\dfrac{1}{6} = a + 2\Leftrightarrow a = \dfrac{1}{6} - 2\Leftrightarrow a = - \dfrac{11}{6} \right.$.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.