Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu sauCho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có
Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu sau
Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a, góc giữa (A'BC) và (ABC) bằng $60^{{^\circ}}$.
Trả lời cho các câu 1, 2, 3 dưới đây:
Thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' là
Đáp án đúng là: A
Xác định góc giữa mặt phẳng (A'BC) và mặt đáy (ABC) để tính chiều cao của lăng trụ.
Thể tích lăng trụ $V = B \cdot h$ với B là diện tích đáy, h là chiều cao.
Gọi M là trung điểm của BC.
Vì tam giác ABC đều nên $AM\bot BC$.
Lăng trụ tam giác đều có $AA'\bot(ABC)$, suy ra $A'A\bot BC$.
Do đó $\left. BC\bot(A'AM)\Rightarrow BC\bot A'M \right.$.
Góc giữa (A'BC) và (ABC) là góc giữa A'M và AM, tức là $\widehat{A^{\prime}MA} = 60^{{^\circ}}$.
Tam giác ABC đều cạnh a nên $AM = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ và diện tích đáy $S_{ABC} = \dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$.
Trong tam giác vuông A'AM, chiều cao lăng trụ là:
$h = AA' = AM \cdot \tan 60^{{^\circ}} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \dfrac{3a}{2}$.
Thể tích khối lăng trụ là:
$V = S_{ABC} \cdot h = \dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{4} \cdot \dfrac{3a}{2} = \dfrac{3a^{3}\sqrt{3}}{8}$.
Đáp án cần chọn là: A
Gọi $\alpha$ là góc giữa BC' và (ABB'A'). Tính $\tan\alpha$.
Đáp án đúng là: C
Xác định hình chiếu vuông góc của đường thẳng BC' lên mặt phẳng (ABB'A').
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.
Sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính \tan \alpha.
Gọi N' là trung điểm của A'B'. Vì tam giác A'B'C' đều nên $C'N'\bot A'B'$.
Mặt khác, mặt bên ABB'A' vuông góc với hai đáy nên $(ABB'A')\bot(A'B'C')$.
Suy ra $C'N'\bot(ABB'A')$.
Hình chiếu vuông góc của C' lên mặt phẳng (ABB'A') là N'.
Hình chiếu của B lên (ABB'A') là chính nó.
Do đó, hình chiếu vuông góc của BC' lên (ABB'A') là BN'.
Góc $\alpha$ giữa BC' và (ABB'A') là góc $\widehat{C^{\prime}BN^{\prime}}$.
Ta có C'N' là đường cao của tam giác đều cạnh a nên $C'N' = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Tam giác BB'N' vuông tại B' có $BB' = AA' = \dfrac{3a}{2}$ và $B'N' = \dfrac{a}{2}$.
Suy ra $BN' = \sqrt{B{B'}^{2} + B'{N'}^{2}} = \sqrt{\left( \dfrac{3a}{2} \right)^{2} + \left( \dfrac{a}{2} \right)^{2}} = \sqrt{\dfrac{10a^{2}}{4}} = \dfrac{a\sqrt{10}}{2}$.
Tam giác C'N'B vuông tại N' (do $C'N'\bot(ABB'A')$), ta có:
$\tan\alpha = \dfrac{C'N'}{BN'} = \dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{a\sqrt{10}}{2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}} = \dfrac{\sqrt{30}}{10}$.
Đáp án cần chọn là: C
Tính khoảng cách từ điểm C' đến mặt phẳng (AB'C).
Đáp án đúng là: B
Sử dụng phương pháp thể tích để tính khoảng cách: $d(C',(AB'C)) = \dfrac{3V_{C'.AB'C}}{S_{AB'C}}$.
Quy đổi thể tích tứ diện C'.AB'C sang các khối có thể tích dễ tính hơn.
Gọi I là giao điểm của BC' và B'C. Do BCC'B' là hình chữ nhật nên I là trung điểm của BC'.
Suy ra khoảng cách từ C' đến mặt phẳng (AB'C) bằng khoảng cách từ B đến (AB'C).
Ta có thể tích khối tứ diện B.AB'C bằng thể tích khối tứ diện B'.ABC:
$V_{B.AB'C} = V_{B'.ABC} = \dfrac{1}{3} \cdot BB' \cdot S_{ABC} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3a}{2} \cdot \dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{4} = \dfrac{a^{3}\sqrt{3}}{8}$.
Xét tam giác AB'C, ta có:
$AC = a$.
$AB' = \sqrt{AB^{2} + B{B'}^{2}} = \sqrt{a^{2} + \left( \dfrac{3a}{2} \right)^{2}} = \dfrac{a\sqrt{13}}{2}$.
$B'C = \sqrt{BC^{2} + B{B'}^{2}} = \sqrt{a^{2} + \left( \dfrac{3a}{2} \right)^{2}} = \dfrac{a\sqrt{13}}{2}$.
Tam giác AB'C cân tại B'. Gọi K là trung điểm của AC, suy ra $B'K\bot AC$.
$B'K = \sqrt{A{B'}^{2} - AK^{2}} = \sqrt{\dfrac{13a^{2}}{4} - \dfrac{a^{2}}{4}} = \sqrt{3a^{2}} = a\sqrt{3}$.
Diện tích tam giác AB'C là:
$S_{AB'C} = \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot B'K = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot a\sqrt{3} = \dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{2}$.
Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AB'C) là:
$d(B,(AB'C)) = \dfrac{3V_{B.AB'C}}{S_{AB'C}} = \dfrac{3 \cdot \dfrac{a^{3}\sqrt{3}}{8}}{\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{3a}{4}$.
Vậy khoảng cách từ C' đến mặt phẳng (AB'C) bằng $\dfrac{3a}{4}$.
Đáp án cần chọn là: B
Quảng cáo
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
