Cho hai điểm $P\left( {6;1} \right)$ và $Q\left( {- 3; - 2} \right)$ và đường thẳng

Câu hỏi số 975279:

Vận dụng

Cho hai điểm $P\left( {6;1} \right)$ và $Q\left( {- 3; - 2} \right)$ và đường thẳng $\text{Δ}:2x - y - 1 = 0.$ Tọa độ điểm $M$ thuộc $\text{Δ}$ sao cho $MP + MQ$ nhỏ nhất là

A. $M\left( {0; - 1} \right).$

B. $M\left( {2;3} \right).$

C. $M\left( {1;1} \right).$

D. $M\left( {3;5} \right).$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:975279

Phương pháp giải

Xét vị trí tương đối của hai điểm $A,B$ so với đường thẳng $d.$

Nếu hai điểm nằm về hai phía, $MA + MB$ nhỏ nhất khi $A,M,B$ thẳng hàng ($M$ là giao điểm của đường thẳng $AB$ và $d$).

Nếu hai điểm nằm cùng phía, lấy đối xứng điểm $A$ qua đường thẳng $d$ thành điểm $A'.$

Khi đó $MA + MB = MA' + MB \geq A'B,$ giá trị nhỏ nhất đạt được khi $M$ là giao điểm của đường thẳng $A'B$ và $d.$

$P,\ M,\ Q$ thẳng hàng theo thứ tự $\left. \Leftrightarrow\overset{\rightarrow}{PQ} \right.$ cùng phương $\overset{\rightarrow}{PM}.$

Kết hợp với phương trình đường thẳng đi qua M để suy ra tọa độ của M.

Giải chi tiết

Đặt $F\left( {x,y} \right) = 2x - y - 1$

Thay $P\left( {6;1} \right)$ vào $\left. F\left( {x;y} \right)\Rightarrow 2 \cdot 6 - 1 - 1 = 10. \right.$

Thay $Q\left( {- 3; - 2} \right)$ vào $\left. F\left( {x;y} \right)\Rightarrow 2 \cdot \left( {- 3} \right) - \left( {- 2} \right) - 1 = - 5. \right.$

Suy ra $P,\ Q$ nằm về hai phía của đường thẳng $\text{Δ}\text{.}$ Gọi tọa độ điểm M là $M\left( {x;y} \right).$

Ta có $MP + MQ \geq PQ.$

Suy ra $MP + MQ$ nhỏ nhất $\left. \Leftrightarrow P,\ M,\ Q \right.$ thẳng hàng theo thứ tự

$\left. \Leftrightarrow\overset{\rightarrow}{PQ} \right.$ cùng phương $\overset{\rightarrow}{PM}$

$\begin{array}{l} \left. \Leftrightarrow\left( {x - 6;y - 1} \right) = k\left( {- 9; - 3} \right) \right. \\ \left. \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {x - 6 = - 9k} \\ {y - 1 = - 3k} \end{array} \right. \right. \\ \left. \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {x = 6 - 9k} \\ {y = 1 - 3k} \end{array} \right.. \right. \end{array}$

Mà $M$ thuộc $\text{Δ}$ nên $\left. 2\left( {6 - 9k} \right) - \left( {1 - 3k} \right) - 1 = 0\Leftrightarrow 10 - 15k = 0\Leftrightarrow k = \dfrac{2}{3}. \right.$

Suy ra $M\left( {0; - 1} \right).$

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.