Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho ba điểm $A\left( {- 2;3;1} \right),\ B\left( {2;1;0}

Câu hỏi số 975283:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho ba điểm $A\left( {- 2;3;1} \right),\ B\left( {2;1;0} \right),$$C\left( {- 3; - 1;1} \right).$ Tọa độ điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình thang có đáy $AD$ và $S_{ABCD} = 3S_{\Delta ABC}$ là

A. $D\left( {8;7; - 1} \right).$

B. $\left\lbrack \begin{array}{l} {D\left( {- 8; - 7;1} \right)} \\ {D\left( {12;1; - 3} \right)} \end{array} \right..$

C. $\left\lbrack \begin{array}{l} {D\left( {8;7; - 1} \right)} \\ {D\left( {- 12; - 1;3} \right)} \end{array} \right..$

D. $D\left( {- 12; - 1;3} \right).$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:975283

Phương pháp giải

Do $ABCD$ là hình thang có hai đáy là $AD$ và $BC$ nên hai vectơ đáy $\overset{\rightarrow}{AB}$ và $\overset{\rightarrow}{DC}$ phải cùng phương với nhau. Suy ra tồn tại số thực $k \neq 0$ sao cho $\overset{\rightarrow}{DC} = k\overset{\rightarrow}{AB}.$

Kết hợp với giả thiết diện tích để xác định hệ số $k,$ từ đó thiết lập phương trình tọa độ giải tìm điểm $D.$

Giải chi tiết

Ta có: $\left. S_{ABCD} = \dfrac{1}{2}\left( {AD + BC} \right) \cdot d\left( {A,BC} \right)\Leftrightarrow S_{ABCD} = \dfrac{1}{2}\left( {AD + BC} \right) \cdot \dfrac{2S_{\bigtriangleup ABC}}{BC}. \right.$

$\left. \Leftrightarrow 3S_{\bigtriangleup ABC} = \dfrac{\left( {AD + BC} \right) \cdot S_{\bigtriangleup ABC}}{BC}\Leftrightarrow 3BC = AD + BC\Leftrightarrow AD = 2BC. \right.$

Mà $ABCD$ là hình thang có đáy $AD$ nên $\overset{\rightarrow}{AD} = 2\overset{\rightarrow}{BC}\ (1).$

Ta có $\overset{\rightarrow}{BC} = \left( {- 5; - 2;1} \right),\ \overset{\rightarrow}{AD} = \left( {x_{D} + 2;y_{D} - 3;z_{D} - 1} \right).$

Suy ra $\left. (1)\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {x_{D} + 2 = - 10} \\ {y_{D} - 3 = - 4} \\ {z_{D} - 1 = 2} \end{array}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {x_{D} = - 12} \\ {y_{D} = - 1} \\ {z_{D} = 3} \end{array} \right. \right.. \right.$

Vậy $D\left( {- 12; - 1;3} \right).$

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.