Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có tổng diện tích tất cả các mặt là 36, độ dài đường

Câu hỏi số 975284:

Vận dụng

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có tổng diện tích tất cả các mặt là 36, độ dài đường chéo $AC'$ bằng 6. Thể tích lớn nhất của khối hộp là

A. 8.

B. $8\sqrt{2}.$

C. $4\sqrt{2}.$

D. 4.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:975284

Phương pháp giải

Gọi ba kích thước của hình hộp chữ nhật lần lượt là $a,b,c > 0.$

Thiết lập các phương trình tổng diện tích các mặt và bình phương độ dài đường chéo.

Cộng hai vế để có đẳng thức phù hợp.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (AM-GM) cho ba số dương để tìm giá trị lớn nhất của thể tích $V = abc.$

Giải chi tiết

Gọi độ dài $AB = a,\ AD = b$ và $AA' = c.$

Ta có tổng diện tích tất cả các mặt là 36 nên

$\left. 2ab + 2bc + 2ca = 36\Leftrightarrow ab + bc + ca = 18\ (1). \right.$

Do độ dài đường chéo $AC'$ bằng 6 nên $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 6^{2} = 36\ (2).$

Thể tích khối hộp là $V = abc.$

Ta có $\left. \left( {a + b + c} \right)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right) = 72\Leftrightarrow a + b + c = 6\sqrt{2}. \right.$

Từ $\left. (1)\Leftrightarrow ab = 18 - c\left( {a + b} \right) = 18 - c\left( {6\sqrt{2} - c} \right) = c^{2} - 6\sqrt{2}c + 18 \right.$

Nên $V = abc = c^{3} - 6\sqrt{2}c^{2} + 18c = f(c),\ c \in \left( {0;6\sqrt{2}} \right).$

Ta có $\left. f'(c) = 3c^{2} - 12\sqrt{2}c + 18 = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {c = 3\sqrt{2}} \\ {c = \sqrt{2}} \end{array} \right. \right.$

Lập bảng biến thiên ta được $\underset{({0;6\sqrt{2}})}{\text{max}}V = f\left( \sqrt{2} \right) = 8\sqrt{2}.$

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.