Điều kiện của $m$ để bất phương trình $4^{x} - \left( {m + 1} \right)2^{x + 1} + m \geq 0$ nghiệm

Câu hỏi số 975285:

Vận dụng

Điều kiện của $m$ để bất phương trình $4^{x} - \left( {m + 1} \right)2^{x + 1} + m \geq 0$ nghiệm đúng với mọi $x \geq 0$ là

A. $m \geq 1.$

B. $m \leq 1.$

C. $m \leq - 1.$

D. $m \geq - 1.$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:975285

Phương pháp giải

Đặt ẩn phụ kèm điều kiện. Thực hiện phương pháp cô lập tham số $m$ về một vế của bất phương trình, đưa về dạng $m \geq g(x)$ hoặc $m \leq g(x)$ với mọi $x$ thuộc miền xác định $K.$

Khảo sát hàm số $g(x)$ để tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất và kết luận điều kiện của $m.$

Giải chi tiết

Bất phương trình $\left. 4^{x} - \left( {m + 1} \right)2^{x + 1} + m \geq 0\ (1)\Leftrightarrow 4^{x} - 2\left( {m + 1} \right)2^{x} + m \geq 0\ (1) \right.$

Đặt $2^{x} = t \geq 2^{0} = 1,$ bất phương trình trở thành $t^{2} - 2\left( {m + 1} \right)t + m \geq 0\ (2)$

Bất phương trình $(1)$ nghiệm đúng với mọi $x \geq 0$ khi và chỉ khi bất phương trình $(2)$ nghiệm đúng với mọi $t \geq 1.$

$\begin{array}{l} \left. \Rightarrow f(t) \geq m\ \forall\ t \in \left\lbrack {1; + \infty} \right) \right. \\ \left. \Rightarrow t^{2} - 2\left( {m + 1} \right)t + m \geq 0\ \forall\ t \in \left\lbrack {1; + \infty} \right) \right. \\ \left. \Leftrightarrow t^{2} - 2mt - 2t + m \geq 0\ \forall\ t \in \left\lbrack {1; + \infty} \right) \right. \\ \left. \Leftrightarrow t^{2} - 2t \geq 2mt - m = m\left( {2t - 1} \right)\ \forall\ t \in \left\lbrack {1; + \infty} \right) \right. \\ \left. \Leftrightarrow\dfrac{t^{2} - 2t}{2t - 1} \geq m\ \forall\ t \in \left\lbrack {1; + \infty} \right)\ \left( {2t - 1 > 0\ \forall\ t \in \left\lbrack {1; + \infty} \right)} \right) \right. \\ \left. \Leftrightarrow\min\limits_{\lbrack{1; + \infty})}\dfrac{t^{2} - 2t}{2t - 1} \geq m \right. \\ \left. \Leftrightarrow m \leq - 1. \right. \end{array}$.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.