Có bao nhiêu giá trị của $a$ để hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} {x + y = 2a + 1} \\ {x^{2} +

Câu hỏi số 975286:

Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị của $a$ để hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} {x + y = 2a + 1} \\ {x^{2} + y^{2} = a^{2} - 2a + 3} \end{array} \right.$ có nghiệm $\left( {x;y} \right)$ thỏa mãn $P = xy$ nhỏ nhất?

Đáp án:

Đáp án đúng là: 1

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:975286

Phương pháp giải

Biện luận hệ phương trình để tìm nghiệm $\left( {x;y} \right)$ theo tham số $m$ (hoặc sử dụng các bất đẳng thức ràng buộc điều kiện có nghiệm).

Thay tọa độ nghiệm vào biểu thức, sử dụng phương pháp khảo sát hàm số hoặc đánh giá bất đẳng thức để tìm giá trị $m$ làm biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải chi tiết

Đặt $S = x + y,\ P = xy.$

Ta có $x^{2} + y^{2} = \left( {x + y} \right)^{2} - 2xy = S^{2} - 2P.$

Đồng thời, áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có

$\left. S^{2} = \left( {x + y} \right)^{2} \geq 4xy = 4P\Leftrightarrow S^{2} - 4P \geq 0. \right.$

Ta có: $\left. \left\{ \begin{array}{l} {S = 2a + 1} \\ {S^{2} - 2P = a^{2} - 2a + 3} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {S^{2} = 4a^{2} + 4a + 1} \\ {S^{2} - 2P = a^{2} - 2a + 3} \end{array} \right. \right.$

$\left. \Rightarrow P = \dfrac{3a^{2} + 6a - 2}{2}. \right.$

Hệ phương trình có nghiệm khi

$\left. S^{2} - 4P \geq 0\Leftrightarrow{(2a + 1)}^{2} - 2\left( {3a^{2} + 6a - 2} \right) \geq 0 \right.$$\left. \Leftrightarrow - 2a^{2} - 8a + 5 \geq 0 \right.$

$P = \dfrac{3}{2}\left( {a^{2} + 2a - \dfrac{2}{3}} \right) = \dfrac{3}{2}\left( {\left( {a + 1} \right)^{2} - \dfrac{5}{3}} \right) \geq - \dfrac{5}{2}.$

Đẳng thức xảy ra khi $a = - 1$ (Thỏa mãn điều kiện).

Suy ra $\text{min}P = \dfrac{- 5}{2}$, khi $a = - 1$.

Vậy có một giá trị của $a$ thỏa mãn.

Đáp án cần điền là: 1

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.